Một vật dao động điều hòa với tốc độ ban đầu là 1m/s và gia tốc là -10√3 m/s2. K…
Đề bài: Một vật dao động điều hòa với tốc độ ban đầu là 1m/s và gia tốc là -10√3 m/s2. Khi đi qua vị trí cân bằng thì vật có tốc độ là 2m/s. Tìm phương trình dao động của vật.
Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định các đại lượng đặc trưng của dao động điều hòa:
- Biên độ dao động (A)
- Tần số góc (ω)
- Pha ban đầu (φ)
Chúng ta sẽ lần lượt đi tìm từng đại lượng này.
Bước 1: Tìm tần số góc (ω)
Ta biết công thức liên hệ giữa tốc độ cực đại (vmax), biên độ (A) và tần số góc (ω) là:
\( v_{max} = Aω \)
Cũng theo đề bài, khi vật đi qua vị trí cân bằng thì tốc độ của nó là lớn nhất, tức là tốc độ cực đại. Do đó, ta có:
\( v_{max} = 2 \) m/s
Ta cũng biết mối liên hệ giữa gia tốc cực đại (amax) và tần số góc (ω) là:
\( a_{max} = Aω^2 \)
Và công thức liên hệ giữa gia tốc (a) và li độ (x) của vật là:
\( a = -ω^2 x \)
Tại một thời điểm bất kỳ, ta có mối liên hệ giữa tốc độ (v), gia tốc (a), biên độ (A) và tần số góc (ω) là:
\( \frac{v^2}{A^2} + \frac{a^2}{a_{max}^2} = 1 \)
Hoặc một cách khác, ta có thể dùng công thức liên hệ độc lập giữa li độ, vận tốc và gia tốc:
\( v^2 = ω^2 (A^2 – x^2) \)
\( a = -ω^2 x \)
Từ hai công thức này, ta suy ra:
\( x = -\frac{a}{ω^2} \)
Thay x vào công thức tính v2:
\( v^2 = ω^2 (A^2 – (-\frac{a}{ω^2})^2) \)
\( v^2 = ω^2 A^2 – a^2 \)
Sắp xếp lại, ta được:
\( v^2 + a^2 = ω^2 A^2 \)
Chúng ta có thông tin tại thời điểm ban đầu (t=0):
\( v_0 = 1 \) m/s
\( a_0 = -10\sqrt{3} \) m/s2
Thay các giá trị này vào công thức \( v^2 + a^2 = ω^2 A^2 \):
\( (1)^2 + (-10\sqrt{3})^2 = ω^2 A^2 \)
\( 1 + 100 \times 3 = ω^2 A^2 \)
\( 1 + 300 = ω^2 A^2 \)
\( 301 = ω^2 A^2 \)
Chúng ta cũng biết rằng khi đi qua vị trí cân bằng, tốc độ của vật là 2 m/s. Tại vị trí cân bằng, li độ \( x = 0 \). Khi đó, gia tốc \( a = 0 \). Tốc độ tại vị trí cân bằng chính là tốc độ cực đại:
\( v_{max} = 2 \) m/s
Và ta có công thức liên hệ độc lập:
\( v_{max}^2 = ω^2 A^2 \)
\( (2)^2 = ω^2 A^2 \)
\( 4 = ω^2 A^2 \)
Bây giờ chúng ta có một mâu thuẫn nhỏ. Hãy xem lại đề bài. “Một vật dao động điều hòa với tốc độ ban đầu là 1m/s và gia tốc là -10√3 m/s2.” “Khi đi qua vị trí cân bằng thì vật có tốc độ là 2m/s.”
Nếu tốc độ khi đi qua vị trí cân bằng là 2 m/s, thì đây chính là tốc độ cực đại của vật, tức là \( v_{max} = 2 \) m/s.
Ta có công thức liên hệ độc lập giữa vận tốc và li độ:
\( v^2 = ω^2 (A^2 – x^2) \)
Tại vị trí cân bằng, \( x = 0 \), nên:
\( v_{max}^2 = ω^2 A^2 \)
\( (2)^2 = ω^2 A^2 \)
\( 4 = ω^2 A^2 \) (Phương trình 1)
Tại thời điểm ban đầu (t=0), ta có \( v_0 = 1 \) m/s và \( a_0 = -10\sqrt{3} \) m/s2.
Ta biết \( a = -ω^2 x \), suy ra \( x = -\frac{a}{ω^2} \).
Thay \( a_0 \) vào:
\( x_0 = -\frac{-10\sqrt{3}}{ω^2} = \frac{10\sqrt{3}}{ω^2} \)
Bây giờ, ta sử dụng công thức \( v^2 = ω^2 (A^2 – x^2) \) tại thời điểm ban đầu:
\( v_0^2 = ω^2 (A^2 – x_0^2) \)
\( (1)^2 = ω^2 (A^2 – (\frac{10\sqrt{3}}{ω^2})^2) \)
\( 1 = ω^2 A^2 – ω^2 (\frac{300}{ω^4}) \)
\( 1 = ω^2 A^2 – \frac{300}{ω^2} \) (Phương trình 2)
Từ Phương trình 1, ta có \( ω^2 A^2 = 4 \). Thay vào Phương trình 2:
\( 1 = 4 – \frac{300}{ω^2} \)
\( \frac{300}{ω^2} = 4 – 1 \)
\( \frac{300}{ω^2} = 3 \)
\( ω^2 = \frac{300}{3} \)
\( ω^2 = 100 \)
\( ω = 10 \) rad/s (Vì ω luôn dương)
Bây giờ chúng ta đã tìm được tần số góc \( ω = 10 \) rad/s.
Bước 2: Tìm biên độ (A)
Sử dụng Phương trình 1: \( ω^2 A^2 = 4 \)
\( 100 \times A^2 = 4 \)
\( A^2 = \frac{4}{100} \)
\( A^2 = \frac{1}{25} \)
\( A = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5} \) m (Vì A luôn dương)
Vậy biên độ dao động là \( A = \frac{1}{5} \) m.
Bước 3: Tìm pha ban đầu (φ)
Phương trình dao động có dạng tổng quát:
\( x = A \cos(ωt + φ) \)
Vận tốc có dạng:
\( v = -Aω \sin(ωt + φ) \)
Gia tốc có dạng:
\( a = -Aω^2 \cos(ωt + φ) \)
Tại thời điểm ban đầu (t=0):
\( v_0 = 1 \) m/s
\( a_0 = -10\sqrt{3} \) m/s2
Từ công thức vận tốc tại t=0:
\( v_0 = -Aω \sin(φ) \)
\( 1 = -(\frac{1}{5})(10) \sin(φ) \)
\( 1 = -2 \sin(φ) \)
\( \sin(φ) = -\frac{1}{2} \)
Từ công thức gia tốc tại t=0:
\( a_0 = -Aω^2 \cos(φ) \)
\( -10\sqrt{3} = -(\frac{1}{5})(100) \cos(φ) \)
\( -10\sqrt{3} = -20 \cos(φ) \)
\( \cos(φ) = \frac{-10\sqrt{3}}{-20} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
Bây giờ chúng ta cần tìm góc \( φ \) sao cho:
\( \sin(φ) = -\frac{1}{2} \)
\( \cos(φ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
Chúng ta biết rằng:
Nếu \( \sin(φ) \) âm và \( \cos(φ) \) dương, thì góc \( φ \) nằm ở góc phần tư thứ IV.
Các giá trị lượng giác cơ bản cho thấy:
\( \sin(\frac{π}{6}) = \frac{1}{2} \)
\( \cos(\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
Để \( \cos(φ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), ta có thể có \( φ = \frac{π}{6} \) hoặc \( φ = -\frac{π}{6} \) (trong khoảng \( [-π, π] \)).
Để \( \sin(φ) = -\frac{1}{2} \), ta có thể có \( φ = -\frac{π}{6} \) hoặc \( φ = \frac{7π}{6} \) (trong khoảng \( [-π, π] \)).
Vậy, giá trị \( φ \) thỏa mãn cả hai điều kiện là \( φ = -\frac{π}{6} \).
Giải thích cách tìm pha ban đầu:
Pha ban đầu \( φ \) là pha của vật tại thời điểm ban đầu (t=0). Nó xác định vị trí và chiều chuyển động của vật ngay từ khi bắt đầu dao động.
Để tìm pha ban đầu, chúng ta sử dụng các giá trị vận tốc và gia tốc ban đầu đã cho, kết hợp với công thức vận tốc và gia tốc theo hàm cosin và tần số góc đã tìm được.
Cụ thể, ta thiết lập hai phương trình:
1. \( v_0 = -Aω \sin(φ) \)
2. \( a_0 = -Aω^2 \cos(φ) \)
Sau đó, thay các giá trị đã biết vào hai phương trình này để tìm ra giá trị của \( \sin(φ) \) và \( \cos(φ) \).
Cuối cùng, dựa vào dấu của \( \sin(φ) \) và \( \cos(φ) \) để xác định góc \( φ \) nằm ở góc phần tư nào, và tìm ra giá trị cụ thể của \( φ \) từ các giá trị lượng giác cơ bản.
Bước 4: Viết phương trình dao động
Với \( A = \frac{1}{5} \) m, \( ω = 10 \) rad/s và \( φ = -\frac{π}{6} \), phương trình dao động của vật là:
\( x = \frac{1}{5} \cos(10t – \frac{π}{6}) \) (cm)
Lưu ý: Nếu đề bài yêu cầu đơn vị là cm, thì ta cần đổi A từ mét sang centimet: \( A = \frac{1}{5} \) m = 20 cm.
Nếu đề bài yêu cầu đơn vị là mét, thì phương trình là:
\( x = \frac{1}{5} \cos(10t – \frac{π}{6}) \) (m)
Kết luận:
Phương trình dao động của vật là \( x = \frac{1}{5} \cos(10t – \frac{π}{6}) \) (m).
Pha ban đầu là \( φ = -\frac{π}{6} \) rad.
Các em có câu hỏi nào không?
\(-\) Khi vật qua VTCB: \(x=0\), \(v=v_(max)\)
Có: \(v_{max} = \omega A\) \(=>\) \(A = \frac{v_{max}}{\omega}(1)\)
\(+)\) Tại lúc ban đầu: \(v_0^2 = \omega^2 (A^2 – x_0^2)(2)\)
\(-\) Thay (1) vào (2) có:
\(v_0^2 = \omega^2 \left(\frac{v_{max}^2}{\omega^2} – x_0^2\right) = v_{max}^2 – \omega^2 x_0^2\)
\(<=>\)\(\omega^2 x_0^2= v_{max}^2 – v_0^2 = 2^2 – 1^2 = 3\)
\(=>\)\(x_0 = \frac{\sqrt{3}}{\omega}(3)\)
\(-\) Tại lúc ban đầu: \(a_0 = -\omega^2 x_0\((4)\)
\)-\( Thay (3) vào (4) có:
\(a_0 = -\omega^2 \frac{\sqrt{3}}{\omega} = -\omega \sqrt{3} \)
\)=>\(\(\omega = -\frac{a_0}{\sqrt{3}} = -\frac{-10\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 10 \text{ rad/s}\)
\)->\( Biên độ: \)A=(v_(max))/omega=2/(10)=0,2(m)\(
\)-\( Có:
\)+)\( \(x_0 = A \cos \varphi\)
\)->\(\(\cos \varphi = \frac{x_0}{A} = \frac{\sqrt{3}/\omega}{A} = \frac{\sqrt{3}/10}{0,2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\)+)\(\(v_0 = -A \omega \sin \varphi\)
\)->\(\(\sin \varphi = -\frac{v_0}{A \omega} = -\frac{1}{0,2 \cdot 10} = -\frac{1}{2}\)
\)=>\(\(\varphi = -\frac{\pi}{6}\)
\)->` PT dao động:
\(x(t) = 0,2 \cos\left(10t – \frac{\pi}{6}\right)\) (m)
Tại thời điểm ban đầu (t=0), ta có:
\(v0=Aωcosϕ=1 (2)\)
\(a0=−Aω2sinϕ=−10\sqrt{3} (3)\)
Từ (2) và (3), ta có
\(ωtanϕ=10\sqrt{3} (4)\)
Bình phương hai vế của (2) và (3) rồi cộng lại:
\((Aωcosϕ)^2+(−Aω^2 sinϕ)^2=12+(−10\dqrt{3})^2\)
\(A^2 ω^2 cos^2 ϕ+A^2ω^4 sin^2ϕ=1+300=301\)
\(A^2 ω^2 (cos^2 ϕ+ω^2 sin2ϕ)=301\)
\(sin^2 ϕ=297\(4ω^2−4)
Từu 4
\)tanϕ=(10\sqrt{3})/ω\(
\)1/( cos^2 ϕ)=1+tan^2 ϕ hay sin^2ϕ=(tan^2ϕ)/(tan^2ϕ+1)\(
\)sin^2ϕ=300\(ω2+300)\(
\)->\( Ta có
\)297/(4ω^2−4)=300\(ω^2+300)\(
\)297(ω^2+300)=300(4ω2−4)\(
\)297ω^2+89100=1200ω^2−1200\(
\)1200ω^2−297ω^2=89100+1200\(
\)903ω^2=90300
\(ω^2=100\)
\(ω=10 \)rad/s (vì ω>0)
\(Aω=2⇒A=2/ω=0,2 m =20 cm\)
\(0,2×10×cosϕ=1⇒2cosϕ=1⇒cosϕ=1/2\)
\(−0,2×10^2×sinϕ=−10\sqrt{3}⇒−0,2×100×sinϕ=−10\sqrt{3}\)
\(−20sinϕ=−10\sqrt{3}⇒sinϕ=(10\sqrt{3})/20=(\sqrt{3})/2\)
Với \(cosϕ=1/2\) và \(sinϕ=(\sqrt{3})/2\), pha ban đầu ϕ phải nằm trong góc phần tư thứ nhất.
Vậy\( ϕ=3π rad\)
pt dao động của vật
\(x=0,2cos(10t+3π)\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment