Chào các em học sinh lớp 11 thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập về tổng hợp dao động điều hòa. Đây là một dạng bài rất quan trọng trong chương trình Vật lý 11, giúp chúng ta hiểu rõ hơn về sự chồng chất của các sóng.

Đề bài: Tìm dao động tổng hợp \(x(t) = x_1(t) + x_2(t)\) khi biết các dao động thành phần là:

\(x_1 = 7\cos (t + \frac{\pi}{9})\)

\(x_2 = 7\cos( t+ \frac{\pi}{3})\)

Chúng ta cùng bắt đầu giải bài này nhé!

1. Phân tích các dao động thành phần:

Từ biểu thức của các dao động thành phần, chúng ta có thể xác định các đại lượng đặc trưng của chúng:

• Đối với dao động \(x_1\):
  Biên độ \(A_1 = 7\)
• Tần số góc \(\omega_1 = 1\) (rad/s)
• Pha ban đầu \(\phi_1 = \frac{\pi}{9}\) (rad)
• Đối với dao động \(x_2\):
  Biên độ \(A_2 = 7\)
• Tần số góc \(\omega_2 = 1\) (rad/s)
• Pha ban đầu \(\phi_2 = \frac{\pi}{3}\) (rad)

Chúng ta thấy rằng hai dao động này có cùng tần số góc (\(\omega_1 = \omega_2 = 1\)), nên chúng ta có thể tổng hợp chúng thành một dao động điều hòa duy nhất.

2. Phương pháp giải:

Để tìm dao động tổng hợp \(x(t) = A\cos(\omega t + \phi)\), chúng ta có thể sử dụng phương pháp giản đồ Fresnel (phương pháp véctơ quay) hoặc phương pháp số phức. Trong bài này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp giản đồ Fresnel vì nó trực quan và dễ hiểu.

Các công thức cần dùng để tìm biên độ \(A\) và pha ban đầu \(\phi\) của dao động tổng hợp là:

a. Biên độ của dao động tổng hợp \(A\):

\(A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos(\phi_2 – \phi_1)}\)

b. Pha ban đầu của dao động tổng hợp \(\phi\):

\(\tan\phi = \frac{A_1\sin\phi_1 + A_2\sin\phi_2}{A_1\cos\phi_1 + A_2\cos\phi_2}\)

3. Thực hiện tính toán:

Bước 1: Tính độ lệch pha giữa hai dao động.

Độ lệch pha \(\Delta\phi = \phi_2 – \phi_1 = \frac{\pi}{3} – \frac{\pi}{9}\)

Để trừ hai phân số, chúng ta quy đồng mẫu số:

\(\Delta\phi = \frac{3\pi}{9} – \frac{\pi}{9} = \frac{3\pi – \pi}{9} = \frac{2\pi}{9}\) (rad)

Bước 2: Tính biên độ của dao động tổng hợp \(A\).

Áp dụng công thức tính biên độ:

\(A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos(\Delta\phi)}\)

Thay số vào, với \(A_1 = 7\), \(A_2 = 7\), \(\Delta\phi = \frac{2\pi}{9}\):

\(A = \sqrt{7^2 + 7^2 + 2 \cdot 7 \cdot 7 \cos(\frac{2\pi}{9})}\)

\(A = \sqrt{49 + 49 + 98 \cos(\frac{2\pi}{9})}\)

\(A = \sqrt{98 + 98 \cos(\frac{2\pi}{9})}\)

\(A = \sqrt{98(1 + \cos(\frac{2\pi}{9}))}\)

Chúng ta sử dụng công thức lượng giác \(1 + \cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha\). Ở đây, \(2\alpha = \frac{2\pi}{9}\), nên \(\alpha = \frac{\pi}{9}\).

Vậy, \(1 + \cos(\frac{2\pi}{9}) = 2\cos^2(\frac{\pi}{9})\).

Thay vào biểu thức của \(A\):

\(A = \sqrt{98 \cdot 2\cos^2(\frac{\pi}{9})}\)

\(A = \sqrt{196\cos^2(\frac{\pi}{9})}\)

\(A = 14|\cos(\frac{\pi}{9})|\)

Vì \(\frac{\pi}{9}\) là một góc nhỏ (tương đương \(20^\circ\)), nên \(\cos(\frac{\pi}{9})\) dương. Do đó:

\(A = 14\cos(\frac{\pi}{9})\)

(Giá trị gần đúng: \(\cos(\frac{\pi}{9}) \approx 0.9397\). Vậy \(A \approx 14 \times 0.9397 \approx 13.156\))

Bước 3: Tính pha ban đầu của dao động tổng hợp \(\phi\).

Áp dụng công thức tính pha ban đầu:

\(\tan\phi = \frac{A_1\sin\phi_1 + A_2\sin\phi_2}{A_1\cos\phi_1 + A_2\cos\phi_2}\)

Vì \(A_1 = A_2 = 7\), chúng ta có thể rút gọn \(A_1\) và \(A_2\):

\(\tan\phi = \frac{7\sin(\frac{\pi}{9}) + 7\sin(\frac{\pi}{3})}{7\cos(\frac{\pi}{9}) + 7\cos(\frac{\pi}{3})}\)

\(\tan\phi = \frac{\sin(\frac{\pi}{9}) + \sin(\frac{\pi}{3})}{\cos(\frac{\pi}{9}) + \cos(\frac{\pi}{3})}\)

Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích:

\(\sin A + \sin B = 2\sin(\frac{A+B}{2})\cos(\frac{A-B}{2})\)

\(\cos A + \cos B = 2\cos(\frac{A+B}{2})\cos(\frac{A-B}{2})\)

Vậy:

\(\tan\phi = \frac{2\sin(\frac{\frac{\pi}{9}+\frac{\pi}{3}}{2})\cos(\frac{\frac{\pi}{9}-\frac{\pi}{3}}{2})}{2\cos(\frac{\frac{\pi}{9}+\frac{\pi}{3}}{2})\cos(\frac{\frac{\pi}{9}-\frac{\pi}{3}}{2})}\)

\(\tan\phi = \tan(\frac{\phi_1+\phi_2}{2})\)

Tính giá trị trung bình của hai pha ban đầu:

\(\frac{\phi_1+\phi_2}{2} = \frac{\frac{\pi}{9} + \frac{\pi}{3}}{2}\)

\(\frac{\phi_1+\phi_2}{2} = \frac{\frac{\pi}{9} + \frac{3\pi}{9}}{2} = \frac{\frac{4\pi}{9}}{2} = \frac{2\pi}{9}\)

Vậy, \(\tan\phi = \tan(\frac{2\pi}{9})\). Từ đó suy ra:

\(\phi = \frac{2\pi}{9}\) (rad)

4. Viết phương trình dao động tổng hợp:

Sau khi xác định được biên độ \(A\) và pha ban đầu \(\phi\), ta có phương trình dao động tổng hợp có dạng \(x(t) = A\cos(\omega t + \phi)\).

Với \(\omega = 1\) (tần số góc chung của hai dao động thành phần).

Vậy, phương trình dao động tổng hợp là:

\(x(t) = 14\cos(\frac{\pi}{9})\cos(t + \frac{2\pi}{9})\)

Chúc các em học tốt và hiểu rõ hơn về phần dao động! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé.