Bài toán yêu cầu chúng ta tìm phương trình dao động của chất điểm, biết một số thông tin về chuyển động của nó. Nào, chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Bài toán: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Trong thời gian 3,14s, chất điểm thực hiện được 100 dao động toàn phần. Gốc thời gian là lúc chất điểm đi qua vị trí có li độ 2cm theo chiều âm với tốc độ \( 40\sqrt{3} \) cm/s. Lấy \( \pi = 3,14 \). Viết phương trình dao động của chất điểm.

Phân tích bài toán:

Để viết được phương trình dao động điều hòa, chúng ta cần xác định được các đại lượng sau:

• Biên độ dao động (A)
• Tần số góc (ω)
• Pha ban đầu (φ)

Chúng ta sẽ lần lượt đi tìm từng đại lượng này từ các dữ kiện đề bài cho.

Bước 1: Tìm chu kỳ (T) và tần số góc (ω)

Đề bài cho biết: Trong thời gian \( t = 3,14s \), chất điểm thực hiện được \( N = 100 \) dao động toàn phần.

Ta có công thức tính chu kỳ dao động: \( T = \frac{t}{N} \)

Thay số vào, ta được: \( T = \frac{3,14s}{100} = 0,0314s \)

Tiếp theo, ta tìm tần số góc \( \omega \) theo công thức: \( \omega = \frac{2\pi}{T} \)

Với \( \pi = 3,14 \), ta có: \( \omega = \frac{2 \times 3,14}{0,0314} = \frac{6,28}{0,0314} = 200 \) rad/s.

Bước 2: Tìm biên độ (A)

Chúng ta có phương trình dao động tổng quát: \( x = A\cos(\omega t + \varphi) \)

Vận tốc dao động sẽ là: \( v = x’ = -A\omega\sin(\omega t + \varphi) \)

Đề bài cho biết: Gốc thời gian là lúc chất điểm đi qua vị trí có li độ \( x = 2cm \) theo chiều âm với tốc độ \( v = -40\sqrt{3} \) cm/s. (Lưu ý: “theo chiều âm” có nghĩa là vận tốc mang dấu âm).

Khi \( t = 0 \), ta có:

1. \( x(0) = A\cos(\varphi) = 2 \) (1)
2. \( v(0) = -A\omega\sin(\varphi) = -40\sqrt{3} \) (2)

Thay \( \omega = 200 \) rad/s vào phương trình (2):

\( -A \times 200 \times \sin(\varphi) = -40\sqrt{3} \)

\( A\sin(\varphi) = \frac{40\sqrt{3}}{200} = \frac{\sqrt{3}}{5} \) (3)

Bây giờ chúng ta có một hệ phương trình với hai ẩn A và \( \varphi \):

Từ (1): \( A\cos(\varphi) = 2 \)

Từ (3): \( A\sin(\varphi) = \frac{\sqrt{3}}{5} \)

Để tìm A, ta bình phương hai vế của (1) và (3) rồi cộng lại:

\( (A\cos(\varphi))^2 + (A\sin(\varphi))^2 = 2^2 + (\frac{\sqrt{3}}{5})^2 \)

\( A^2(\cos^2(\varphi) + \sin^2(\varphi)) = 4 + \frac{3}{25} \)

Vì \( \cos^2(\varphi) + \sin^2(\varphi) = 1 \), ta có:

\( A^2 = 4 + \frac{3}{25} = \frac{100 + 3}{25} = \frac{103}{25} \)

\( A = \sqrt{\frac{103}{25}} = \frac{\sqrt{103}}{5} \) cm.

Lưu ý quan trọng: Có vẻ như có một chút sai sót trong đề bài hoặc các số liệu được cho, vì kết quả A không phải là một số nguyên hoặc dễ dàng tính toán. Tuy nhiên, chúng ta sẽ tiếp tục giải dựa trên các số liệu này. Nếu trong bài thi thực tế, các em gặp tình huống này, hãy kiểm tra lại đề bài cẩn thận.

Bước 3: Tìm pha ban đầu (φ)

Chúng ta quay lại hệ phương trình:

\( A\cos(\varphi) = 2 \)

\( A\sin(\varphi) = \frac{\sqrt{3}}{5} \)

Lấy phương trình (3) chia cho phương trình (1):

\( \frac{A\sin(\varphi)}{A\cos(\varphi)} = \frac{\sqrt{3}/5}{2} \)

\( \tan(\varphi) = \frac{\sqrt{3}}{10} \)

Để xác định \( \varphi \), chúng ta cần xét dấu của \( \cos(\varphi) \) và \( \sin(\varphi) \). Từ phương trình (1), \( A\cos(\varphi) = 2 \). Vì \( A > 0 \), nên \( \cos(\varphi) > 0 \).

Từ phương trình (3), \( A\sin(\varphi) = \frac{\sqrt{3}}{5} \). Vì \( A > 0 \), nên \( \sin(\varphi) > 0 \).

\( \cos(\varphi) > 0 \) và \( \sin(\varphi) > 0 \) nghĩa là góc \( \varphi \) nằm trong góc phần tư thứ nhất.

Vậy \( \varphi = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{10}\right) \). Đây là một giá trị góc không đặc biệt.

Kiểm tra lại các bước và các số liệu:

Nếu đề bài có thể có sai sót, chúng ta thử xem xét một khả năng khác. Ví dụ, nếu tốc độ là \( 40 \) cm/s thay vì \( 40\sqrt{3} \) cm/s, hoặc nếu li độ là một giá trị khác.

Giả sử, đề bài muốn cho một kết quả dễ dàng hơn.

Hãy thử quay lại phương trình vận tốc và li độ: \( v = -A\omega\sin(\omega t + \varphi) \) và \( x = A\cos(\omega t + \varphi) \). Ta có mối liên hệ độc lập với thời gian: \( \frac{x^2}{A^2} + \frac{v^2}{(A\omega)^2} = 1 \).

Tại \( t=0 \): \( x = 2 \) cm, \( v = -40\sqrt{3} \) cm/s.

Ta có \( \omega = 200 \) rad/s.

\( \frac{2^2}{A^2} + \frac{(-40\sqrt{3})^2}{(A \times 200)^2} = 1 \)

\( \frac{4}{A^2} + \frac{1600 \times 3}{A^2 \times 40000} = 1 \)

\( \frac{4}{A^2} + \frac{4800}{40000A^2} = 1 \)

\( \frac{4}{A^2} + \frac{48}{400A^2} = 1 \)

\( \frac{4}{A^2} + \frac{12}{100A^2} = 1 \)

\( \frac{4}{A^2} + \frac{3}{25A^2} = 1 \)

\( \frac{100}{25A^2} + \frac{3}{25A^2} = 1 \)

\( \frac{103}{25A^2} = 1 \)

\( A^2 = \frac{103}{25} \)

\( A = \frac{\sqrt{103}}{5} \) cm.

Kết quả biên độ vẫn giữ nguyên.

Trường hợp có thể là đề bài bị gõ nhầm:

Giả sử đề bài muốn cho li độ là \( 2\sqrt{3} \) cm và tốc độ là \( 40 \) cm/s, hoặc ngược lại. Hoặc là li độ \( 2 \) cm và tốc độ \( 40 \) cm/s.

Nếu ta có: \( x = 2 \) cm, \( v = -40 \) cm/s.

\( A\cos(\varphi) = 2 \)

\( -A\omega\sin(\varphi) = -40 \)

\( A\sin(\varphi) = \frac{40}{\omega} = \frac{40}{200} = 0,2 = \frac{1}{5} \)

Khi đó: \( A^2 = 2^2 + (1/5)^2 = 4 + 1/25 = 101/25 \). \( A = \sqrt{101}/5 \).

Tiếp tục với các số liệu ban đầu đã cho, dù có vẻ không “đẹp”

Chúng ta đã có: \( A = \frac{\sqrt{103}}{5} \) cm, \( \omega = 200 \) rad/s.

Và \( \tan(\varphi) = \frac{\sqrt{3}}{10} \), với \( \varphi \) ở góc phần tư thứ nhất.

Vì \( \tan(\varphi) = \frac{\sqrt{3}}{10} \), đây là một giá trị không tương ứng với các góc đặc biệt như \( \pi/6, \pi/4, \pi/3 \). Tuy nhiên, chúng ta vẫn có thể biểu diễn pha ban đầu dưới dạng arctan.

Vậy, phương trình dao động của chất điểm là:

\( x(t) = A\cos(\omega t + \varphi) \)

\( x(t) = \frac{\sqrt{103}}{5} \cos\left(200t + \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{10}\right)\right) \) (cm)

Kết luận:

Dựa trên các dữ kiện đề bài cho, phương trình dao động của chất điểm là:

\( x(t) = \frac{\sqrt{103}}{5} \cos\left(200t + \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{10}\right)\right) \) (cm)

Trong đó:

• Biên độ \( A = \frac{\sqrt{103}}{5} \) cm.
• Tần số góc \( \omega = 200 \) rad/s.
• Pha ban đầu \( \varphi = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{10}\right) \) radian.

Các em cần lưu ý rằng, trong các bài tập vật lý, đôi khi số liệu có thể không cho ra kết quả “đẹp” và gọn gàng. Quan trọng là chúng ta nắm vững phương pháp giải và cách sử dụng các công thức vật lý.

Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, các em cứ mạnh dạn hỏi nhé!