Bài toán: Người ta thả cục nước đá ở 0⁰C vào chiếc cốc bằng đồng khối lượng 0,20 kg đặt ở trong nhiệt lượng kế, trong cốc đồng đựng 0,70 kg nước ở 25⁰C. Khi cục nước đá vừa tan hết thì nước trong cốc đồng có nhiệt độ là 15,2⁰C và khối lượng của nước là 0,775 kg. Xác định nhiệt nóng chảy của nước đá. Cho biết nhiệt dung riêng của đồng là 380 J/kg.K và của nước là 4180 J/kg.K. Bỏ qua sự mất mát nhiệt do truyền ra bên ngoài.

Phân tích bài toán:

Trong bài toán này, chúng ta có ba thành phần chính tham gia vào quá trình trao đổi nhiệt: cục nước đá, cốc đồng và nước ban đầu. Khi nước đá tan hết và đạt đến trạng thái cân bằng nhiệt, nhiệt lượng mà nước đá nhận vào để tan chảy và nóng lên sẽ bằng nhiệt lượng mà cốc đồng và nước ban đầu tỏa ra.

Chúng ta cần xác định nhiệt nóng chảy riêng của nước đá, ký hiệu là \(\lambda\).

Các đại lượng đã cho:

• Khối lượng cốc đồng: \(m_{đ} = 0,20\) kg
• Khối lượng nước ban đầu: \(m_{n1} = 0,70\) kg
• Nhiệt độ ban đầu của nước và cốc đồng: \(t_{n1} = t_{đ1} = 25^{0}\)C
• Nhiệt độ ban đầu của nước đá: \(t_{đá} = 0^{0}\)C
• Nhiệt độ cuối cùng của hệ: \(t_{c} = 15,2^{0}\)C
• Khối lượng nước cuối cùng trong cốc: \(m_{n2} = 0,775\) kg
• Nhiệt dung riêng của đồng: \(c_{đ} = 380\) J/kg.K
• Nhiệt dung riêng của nước: \(c_{n} = 4180\) J/kg.K

Các đại lượng cần tìm:

• Nhiệt nóng chảy của nước đá: \(\lambda\)

Các quá trình diễn ra:

1. Nước đá ở 0⁰C nhận nhiệt lượng để tan chảy hoàn toàn thành nước ở 0⁰C.
2. Nước đá sau khi tan chảy (nay là nước ở 0⁰C) nhận nhiệt lượng để nóng lên đến nhiệt độ cân bằng cuối cùng \(t_{c}\).
3. Cốc đồng tỏa nhiệt để nguội từ \(t_{đ1}\) xuống \(t_{c}\).
4. Nước ban đầu tỏa nhiệt để nguội từ \(t_{n1}\) xuống \(t_{c}\).

Lập phương trình cân bằng nhiệt:

Nguyên tắc cân bằng nhiệt: Nhiệt lượng hệ nhận vào bằng nhiệt lượng hệ tỏa ra.

Nhiệt lượng nước đá nhận vào để tan chảy: \(Q_{tan} = \lambda \cdot m_{đá}\)

Ở đây, chúng ta cần tìm khối lượng nước đá ban đầu. Khối lượng nước đá ban đầu chính là phần nước tăng thêm trong cốc.
Khối lượng nước đá ban đầu: \(m_{đá} = m_{n2} – m_{n1}\)

\(m_{đá} = 0,775 \, \text{kg} – 0,70 \, \text{kg} = 0,075 \, \text{kg}\)

Nhiệt lượng nước đá nhận vào để nóng lên từ 0⁰C đến \(t_{c}\): \(Q_{nóng} = c_{n} \cdot m_{đá} \cdot (t_{c} – t_{đá})\)

Tổng nhiệt lượng nước đá nhận vào: \(Q_{nhận} = Q_{tan} + Q_{nóng} = \lambda \cdot m_{đá} + c_{n} \cdot m_{đá} \cdot (t_{c} – t_{đá})\)

Nhiệt lượng cốc đồng tỏa ra: \(Q_{tỏa\_đ} = c_{đ} \cdot m_{đ} \cdot (t_{đ1} – t_{c})\)

Nhiệt lượng nước ban đầu tỏa ra: \(Q_{tỏa\_n} = c_{n} \cdot m_{n1} \cdot (t_{n1} – t_{c})\)

Theo nguyên tắc cân bằng nhiệt, ta có:

\(Q_{nhận} = Q_{tỏa\_đ} + Q_{tỏa\_n}\)

\(\lambda \cdot m_{đá} + c_{n} \cdot m_{đá} \cdot (t_{c} – t_{đá}) = c_{đ} \cdot m_{đ} \cdot (t_{đ1} – t_{c}) + c_{n} \cdot m_{n1} \cdot (t_{n1} – t_{c})\)

Giải phương trình để tìm \(\lambda\):

Chúng ta cần sắp xếp lại phương trình để cô lập \(\lambda\):

\(\lambda \cdot m_{đá} = c_{đ} \cdot m_{đ} \cdot (t_{đ1} – t_{c}) + c_{n} \cdot m_{n1} \cdot (t_{n1} – t_{c}) – c_{n} \cdot m_{đá} \cdot (t_{c} – t_{đá})\)

\(\lambda = \frac{c_{đ} \cdot m_{đ} \cdot (t_{đ1} – t_{c}) + c_{n} \cdot m_{n1} \cdot (t_{n1} – t_{c}) – c_{n} \cdot m_{đá} \cdot (t_{c} – t_{đá})}{m_{đá}}\)

Thay số và tính toán:

Trước hết, ta tính các giá trị trong ngoặc:

• \(t_{đ1} – t_{c} = 25^{0}\text{C} – 15,2^{0}\text{C} = 9,8^{0}\text{C}\)
• \(t_{n1} – t_{c} = 25^{0}\text{C} – 15,2^{0}\text{C} = 9,8^{0}\text{C}\)
• \(t_{c} – t_{đá} = 15,2^{0}\text{C} – 0^{0}\text{C} = 15,2^{0}\text{C}\)

Bây giờ, thay vào công thức tính \(\lambda\):

\(\lambda = \frac{(380 \, \text{J/kg.K}) \cdot (0,20 \, \text{kg}) \cdot (9,8 \, \text{K}) + (4180 \, \text{J/kg.K}) \cdot (0,70 \, \text{kg}) \cdot (9,8 \, \text{K}) – (4180 \, \text{J/kg.K}) \cdot (0,075 \, \text{kg}) \cdot (15,2 \, \text{K})}{0,075 \, \text{kg}}\)

Tính từng phần của tử số:

• \(c_{đ} \cdot m_{đ} \cdot (t_{đ1} – t_{c}) = 380 \cdot 0,20 \cdot 9,8 = 744,8\) J
• \(c_{n} \cdot m_{n1} \cdot (t_{n1} – t_{c}) = 4180 \cdot 0,70 \cdot 9,8 = 28672,4\) J
• \(c_{n} \cdot m_{đá} \cdot (t_{c} – t_{đá}) = 4180 \cdot 0,075 \cdot 15,2 = 4765,8\) J

Thay các giá trị này vào tử số:

Tử số = \(744,8 + 28672,4 – 4765,8 = 24651,4\) J

Cuối cùng, tính \(\lambda\):

\(\lambda = \frac{24651,4 \, \text{J}}{0,075 \, \text{kg}} \approx 328685,33\) J/kg

Để làm tròn cho dễ nhớ, chúng ta có thể làm tròn thành \(3,286 \times 10^5\) J/kg hoặc \(329000\) J/kg.

Kết luận:

Vậy, nhiệt nóng chảy riêng của nước đá là khoảng \(3,29 \times 10^5\) J/kg.

Các em thấy đó, khi áp dụng đúng nguyên tắc cân bằng nhiệt và cẩn thận trong các bước tính toán, chúng ta hoàn toàn có thể giải quyết được bài toán này.

Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, các em đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!