Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(3; 5). Lập phương trình đường…

Chào các em học sinh lớp 8 yêu quý! Hôm nay, thầy/cô sẽ hướng dẫn các em giải một bài toán hình học kết hợp đại số trong mặt phẳng tọa độ rất hay và thú vị. Dù kiến thức này có sự chuẩn bị cho chương trình lớp trên, nhưng với tư duy logic của học sinh lớp 8, chúng ta hoàn toàn có thể chinh phục được thông qua phương pháp tọa độ.

Bước 1: Gọi tọa độ các giao điểm

Vì đường thẳng d cắt các tia Ox và Oy tại hai điểm phân biệt A và B, nên A phải nằm trên phần dương của trục hoành và B nằm trên phần dương của trục tung. Do đó, ta có thể giả sử:

• Điểm A có tọa độ là (a; 0), với điều kiện a lớn hơn 0.
• Điểm B có tọa độ là (0; b), với điều kiện b lớn hơn 0.

Bước 2: Sử dụng dữ kiện diện tích tam giác OAB

Tam giác OAB là tam giác vuông tại gốc tọa độ O (vì Ox và Oy vuông góc với nhau). Do đó, độ dài hai cạnh góc vuông chính là khoảng cách từ gốc tọa độ đến hai điểm A và B.

• Độ dài cạnh OA bằng a.
• Độ dài cạnh OB bằng b.

Theo đề bài, diện tích tam giác OAB bằng 30. Ta có công thức tính diện tích tam giác vuông là:

Diện tích tam giác OAB bằng một nửa nhân với OA nhân với OB, tức là một nửa nhân a nhân b bằng 30.

Từ đây, ta suy ra tích của a và b bằng 60.

Bước 3: Lập phương trình đoạn chắn của đường thẳng d

Một đường thẳng đi qua hai điểm A(a; 0) và B(0; b) được viết theo phương trình đoạn chắn như sau:

x chia a cộng với y chia b bằng 1.

Bước 4: Thay tọa độ điểm đi qua để tìm mối quan hệ giữa a và b

Đề bài cho biết đường thẳng d đi qua điểm M có tọa độ (3; 5). Ta thay hoành độ và tung độ của điểm M vào phương trình đường thẳng ở bước 3:

3 chia a cộng với 5 chia b bằng 1.

Bước 5: Giải hệ phương trình để tìm a và b

Ta có hệ điều kiện gồm hai phương trình:

• Phương trình thứ nhất: a nhân b bằng 60.
• Phương trình thứ hai: 3 chia a cộng với 5 chia b bằng 1.

Từ phương trình thứ nhất, ta rút b theo a: b bằng 60 chia a. Thế vào phương trình thứ hai, ta được:

3 chia a cộng với 5 chia (60 chia a) bằng 1.

Biểu thức trên tương đương với:

3 chia a cộng với 5a chia 60 bằng 1.

Rút gọn phân số thứ hai, ta có 3 chia a cộng với a chia 12 bằng 1.

Quy đồng mẫu số chung là 12a, ta được phương trình bậc hai:

36 cộng với a bình phương bằng 12a.

Chuyển vế sang một bên, ta được phương trình:

a bình phương trừ 12a cộng 36 bằng 0.

Nhận thấy vế trái là một hằng đẳng thức đáng nhớ, ta thu gọn thành:

Mở ngoặc a trừ 6 đóng ngoặc bình phương bằng 0.

Từ đó, ta tìm được duy nhất một giá trị của a là a bằng 6.

Với a bằng 6, ta tính ngược lại tìm b: b bằng 60 chia 6 và bằng 10.

Cả hai giá trị a bằng 6 và b bằng 10 đều thỏa mãn điều kiện lớn hơn 0 ban đầu.

Bước 6: Viết phương trình đường thẳng cần tìm

Thay a bằng 6 và b bằng 10 vào phương trình đoạn chắn, ta có:

x chia 6 cộng với y chia 10 bằng 1.

Để phương trình gọn gàng hơn, ta quy đồng mẫu số chung là 30 và khử mẫu:

5x cộng 3y trừ 30 bằng 0.

Kết luận: Phương trình đường thẳng d cần tìm là 5x cộng 3y trừ 30 bằng 0. Thầy/cô hy vọng qua bài giảng chi tiết này, các em đã nắm vững cách kết hợp giữa hình học tọa độ và đại số để giải quyết các bài toán liên quan đến diện tích và phương trình đường thẳng!