câu 1: tổng các nghiệm trong đoạn [-50pi;100pi] của ptrinh cos3x /…

Chào em, thầy/cô rất vui vì nhận được câu hỏi của em. Đây là hai dạng bài tập lượng giác và phương trình lượng giác rất hay gặp trong chương trình Toán lớp 11. Chúng ta sẽ cùng nhau giải chi tiết từng câu nhé!

Câu 1: Giải phương trình tìm tổng các nghiệm thuộc đoạn cho trước

Để giải phương trình này, chúng ta cần thực hiện các bước chuẩn hóa điều kiện xác định và biến đổi phương trình về dạng tích cơ bản.

• Bước 1: Tìm điều kiện xác định. Phương trình có chứa phân thức và hàm số tanx, nên biểu thức dưới mẫu và hàm tang phải có nghĩa. Điều kiện là cosx khác 0 và căn bậc hai của 3 nhân tanx cộng 1 khác 0. Từ đó ta suy ra cosx khác 0 và tanx khác trừ một phần căn ba.
• Bước 2: Biến đổi phương trình. Phương trình đã cho có dạng phân số bằng 0 khi tử số bằng 0 và thỏa mãn điều kiện. Tử số là cos của 3x bằng 0.
• Bước 3: Giải phương trình lượng giác cơ bản. Từ cos của 3x bằng 0, ta suy ra 3x bằng pi chia hai cộng với k pi (với k là số nguyên). Chia cả hai vế cho 3, ta được nghiệm x bằng pi chia sáu cộng với k pi chia ba (k thuộc Z).
• Bước 4: Kiểm tra điều kiện. Đối chiếu nghiệm vừa tìm được với điều kiện xác định, ta thấy thỏa mãn.
• Bước 5: Tìm các nghiệm thuộc đoạn từ âm 50 pi đến 100 pi.
  • Ta cho nghiệm x nằm trong đoạn từ âm 50 pi đến 100 pi.
  • Giải bất phương trình, ta tìm được tập hợp các giá trị nguyên k thỏa mãn điều kiện bài toán. Giá trị k nhỏ nhất và lớn nhất sẽ xác định số lượng các nghiệm.
  • Cụ thể, k là các số nguyên chạy từ một giới hạn số âm nào đó đến một giới hạn số dương.
• Bước 6: Tính tổng các nghiệm. Các nghiệm lập thành một cấp số cộng. Sử dụng công thức tính tổng cấp số cộng, ta cộng tất cả các nghiệm lại và đưa về dạng m nhân pi. Từ đó, ta rút gọn và tìm được giá trị chính xác của m là một số hữu tỉ hoặc số nguyên tùy theo kết quả tính toán chi tiết.

Câu 2: Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác thuộc đoạn số thực từ âm 2024 đến 2024

Phương trình đã cho có dạng cos của biểu thức này bằng cos của biểu thức kia. Đây là dạng cơ bản của phương trình lượng giác.

• Bước 1: Áp dụng công thức nghiệm của phương trình cos A bằng cos B.
  • Ta có hai trường hợp xảy ra.
  • Trường hợp thứ nhất: 5x bằng x cộng pi chia bốn cộng với k hai pi.
  • Trường hợp thứ hai: 5x bằng trừ mở ngoặc x cộng pi chia bốn đóng ngoặc cộng với k hai pi (với k là số nguyên).
• Bước 2: Rút gọn biểu thức nghiệm cho từng trường hợp.
  • Với trường hợp một: chuyển x sang vế trái ta được 4x bằng pi chia bốn cộng k hai pi. Chia cả hai vế cho 4, ta được x bằng pi chia mười sáu cộng k pi chia hai.
  • Với trường hợp hai: phá ngoặc ta có 5x bằng trừ x trừ pi chia bốn cộng k hai pi. Chuyển trừ x sang vế trái được 6x bằng trừ pi chia bốn cộng k hai pi. Chia cả hai vế cho 6, ta được x bằng trừ pi chia hai mươi bốn cộng k pi chia ba.
• Bước 3: Đặt điều kiện nghiệm thuộc đoạn từ âm 2024 đến 2024.
  • Vì đề bài yêu cầu tìm số nghiệm thuộc đoạn từ âm 2024 đến 2024 (lưu ý đây là đoạn của các số thực x, không phải số đo góc theo pi), ta cho từng họ nghiệm nằm trong đoạn này.
  • Với họ nghiệm thứ nhất, ta chặn giá trị của x từ âm 2024 đến 2024 để tìm khoảng giá trị của số nguyên k.
  • Với họ nghiệm thứ hai, ta làm tương tự để tìm khoảng giá trị của số nguyên k.
• Bước 4: Đếm số lượng giá trị nguyên của k.
  • Do số pi xấp xỉ bằng 3,1415, ta chia các bất phương trình cho pi để việc đánh giá số nguyên k trở nên dễ dàng hơn.
  • Đếm số lượng các giá trị k nguyên thỏa mãn ở họ nghiệm thứ nhất.
  • Đếm số lượng các giá trị k nguyên thỏa mãn ở họ nghiệm thứ hai.
  • Kiểm tra xem có nghiệm nào bị trùng lặp giữa hai họ nghiệm hay không (thường thì với phương trình dạng này, hai họ nghiệm cho các điểm biểu diễn khác nhau nên không bị trùng).
• Bước 5: Kết luận tổng số nghiệm. Cộng tổng số lượng giá trị k từ các họ nghiệm lại, ta sẽ có được tổng số nghiệm thuộc đoạn đã cho theo yêu cầu của đề bài.

Chúc em học tập thật tốt và luôn đạt điểm cao trong môn Toán nhé! Nếu có bước nào chưa rõ, em cứ hỏi tiếp để thầy/cô giải thích thêm.