Hình chóp S.ABC .Gọi M ,N là trung điểm SA ,BC và P là điểm nằm trên…

Chào em, một câu hỏi hình học không gian lớp 11 rất hay và thú vị để rèn luyện tư duy tưởng tượng không gian và áp dụng định lý Menelaus hoặc phương pháp giao tuyến. Thầy sẽ hướng dẫn em giải chi tiết từng bước nhé.

Bước 1: Phân tích các yếu tố đề bài cho

• Cho hình chóp S.ABC.
• M là trung điểm của cạnh SA.
• N là trung điểm của cạnh BC.
• P nằm trên cạnh AB sao cho đoạn AP bằng một phần ba đoạn AB (AP = 1/3 AB).
• Q là giao điểm của đường thẳng SC và mặt phẳng (MNP).
• Yêu cầu tính tỉ số độ dài của SQ chia cho SC.

Bước 2: Tìm giao tuyến phụ trợ để xác định điểm Q

• Trong mặt phẳng (ABC), ta thấy hai đường thẳng NP và AC không song song với nhau. Gọi E là giao điểm của đường thẳng NP và đường thẳng AC.
• Vì điểm E nằm trên đường thẳng NP mà NP lại nằm trong mặt phẳng (MNP), nên điểm E cũng thuộc mặt phẳng (MNP).
• Mặt khác, điểm E lại thuộc đường thẳng AC mà AC nằm trong mặt phẳng (SAC).
• Do đó, điểm E chính là điểm chung nằm ở giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (SAC).

Bước 3: Xác định vị trí điểm Q trên cạnh SC

• Trong mặt phẳng (SAC), ta nối điểm M với điểm E. Đường thẳng ME này sẽ cắt cạnh SC tại một điểm.
• Theo cách dựng, điểm này vừa thuộc đường thẳng ME (thuộc mặt phẳng MNP) vừa thuộc cạnh SC, nên nó chính là điểm Q cần tìm.
• Tóm lại, Q chính là giao điểm của đường thẳng ME và cạnh SC.

Bước 4: Áp dụng định lý Menelaus trong tam giác ABC

• Xét tam giác ABC với cát tuyến là đường thẳng N-P-E (trong đó E nằm trên phần kéo dài của AC).
• Theo định lý Menelaus, ta có hệ thức tỉ số sau: (EA chia cho EC) nhân với (CN chia cho NB) nhân với (BP chia cho PA) bằng 1.
• Vì N là trung điểm của BC nên tỉ số CN chia cho NB bằng 1.
• Theo giả thiết, AP bằng một phần ba AB, suy ra PB bằng hai phần ba AB, do đó tỉ số BP chia cho PA bằng 2.
• Thay các giá trị vào hệ thức Menelaus, ta có: (EA chia cho EC) nhân 1 nhân 2 bằng 1. Từ đó suy ra EA chia cho EC bằng một nửa (1/2), hay EC bằng hai lần EA. Điều này cũng có nghĩa là A là trung điểm của đoạn thẳng EC.

Bước 5: Áp dụng định lý Menelaus trong tam giác SAC để tính tỉ số SQ chia cho SC

• Xét tam giác SAC với cát tuyến là đường thẳng M-Q-E (vì E, Q, M thẳng hàng).
• Theo định lý Menelaus cho tam giác SAC, ta có hệ thức: (EA chia cho EC) nhân với (CS chia cho QS) nhân với (SM chia cho MA) bằng 1.
• Vì M là trung điểm của SA nên tỉ số SM chia cho MA bằng 1.
• Ta đã tính được tỉ số EA chia cho EC bằng 1/2 ở bước trước.
• Thay các giá trị vào hệ thức, ta được: (1/2) nhân với (CS chia cho QS) nhân 1 bằng 1.
• Suy ra tỉ số CS chia cho QS bằng 2.
• Từ đó, nghịch đảo lên ta được tỉ số SQ chia cho SC bằng một nửa (1/2).

Kết luận: Tỉ số SQ chia cho SC cần tìm là 1/2. Chúc các em học tập thật tốt và luôn đạt kết quả cao trong môn Toán nhé!