Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác có hai cạnh đối không…

Chào các em học sinh lớp 11 yêu quý! Thầy/cô rất vui được đồng hành cùng các em trong chuyên đề hình học không gian này. Dạng toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng luôn là nền tảng quan trọng. Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết bài toán này một cách chi tiết và dễ hiểu nhất nhé.

Trước khi đi vào từng câu, chúng ta cùng phân tích sơ lược hình vẽ giả thiết: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi (với hai cạnh đối không song song, giả sử là AD và BC cắt nhau tại một điểm nào đó bên ngoài). Điểm M nằm bên trong tam giác SCD. Bây giờ, chúng ta lần lượt giải các yêu cầu.

Câu a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABM) và (SCD)

Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng này, phương pháp chung là chúng ta đi tìm hai điểm chung phân biệt của chúng.

• Điểm chung thứ nhất: Nhìn vào tên của hai mặt phẳng, ta thấy điểm M thuộc mặt phẳng (ABM). Mặt khác, theo giả thiết, điểm M lại nằm trong tam giác SCD, mà tam giác SCD lại nằm trong mặt phẳng (SCD). Do đó, điểm M chính là điểm chung đầu tiên của hai mặt phẳng (ABM) và (SCD).
• Điểm chung thứ hai: Ta cần khai thác các đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng này. Trong mặt phẳng đáy (ABCD), hai cạnh đối của tứ giác là AB và CD không song song với nhau. Vì vậy, ta có thể kéo dài hai đường thẳng AB và CD để chúng cắt nhau tại một điểm. Gọi điểm đó là E.
• Ta xét xem điểm E thuộc các mặt phẳng nào:
  • Vì E nằm trên đường thẳng AB, mà đường thẳng AB lại thuộc mặt phẳng (ABM), nên điểm E thuộc mặt phẳng (ABM).
  • Vì E nằm trên đường thẳng CD, mà đường thẳng CD lại thuộc mặt phẳng (SCD), nên điểm E thuộc mặt phẳng (SCD).
• Như vậy, điểm E chính là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng (ABM) và (SCD).

Kết luận câu a: Giao tuyến của hai mặt phẳng (ABM) và (SCD) chính là đường thẳng đi qua hai điểm chung M và E, viết kí hiệu là đường thẳng EM.

Câu b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (AMB) và (SAC)

Tương tự như câu a, chúng ta cũng đi tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng (AMB) và (SAC).

• Điểm chung thứ nhất: Ngay từ tên gọi của hai mặt phẳng, chúng ta dễ dàng nhận thấy điểm A xuất hiện ở cả hai mặt phẳng (AMB) và (SAC). Do đó, điểm A chính là điểm chung thứ nhất.
• Điểm chung thứ hai: Ta cần tìm giao điểm của một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng kia. Ở câu a, chúng ta đã tìm ra đường thẳng EM là giao tuyến của mặt phẳng (ABM) và mặt phẳng (SCD). Ta sẽ tận dụng kết quả này.
• Trong mặt phẳng (SCD), đường thẳng EM cắt cạnh SC tại một điểm. Ta gọi điểm đó là điểm F.
• Ta xét xem điểm F thuộc các mặt phẳng nào:
  • Điểm F nằm trên đường thẳng EM, mà đường thẳng EM thuộc mặt phẳng (ABM) (do câu a chứng minh EM là giao tuyến của (ABM) và (SCD)). Vậy điểm F thuộc mặt phẳng (ABM).
  • Điểm F nằm trên đoạn thẳng SC, mà đoạn thẳng SC lại nằm trong mặt phẳng (SAC). Vậy điểm F thuộc mặt phẳng (SAC).
• Như vậy, điểm F chính là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng (AMB) và (SAC).

Kết luận câu b: Giao tuyến của hai mặt phẳng (AMB) và (SAC) chính là đường thẳng đi qua hai điểm chung A và F, viết kí hiệu là đường thẳng AF.

Lời khuyên từ giáo viên: Để làm tốt các bài toán tìm giao tuyến dạng này, các em cần vẽ hình thật rõ ràng, lớn và phóng khoáng. Hãy nhớ kỹ nguyên tắc cốt lõi: “Tìm hai điểm chung phân biệt”. Chúc các em học tập thật tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!