Bài 6. Cho hình thang ABCD có AB // CD và AB < CD. Gọi M, N lần lượt...

Chào các em học sinh lớp 8 yêu quý! Hôm nay, thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán hình học rất hay và quen thuộc. Đề bài yêu cầu chúng ta chứng minh một số tính chất của hình thang thông qua các định lý về tỉ số đoạn thẳng. Đặc biệt, theo đúng yêu cầu của chương trình, chúng ta sẽ chỉ sử dụng kiến thức từ bài Định lý Thales, Đảo của định lý Thales và Hệ quả của định lý Thales, tuyệt đối không dùng tính chất đường trung bình nhé!

PHẦN A: Chứng minh MN song song với AB

Để chứng minh MN song song với AB, ta cần chọn một tam giác thích hợp chứa đoạn MN và áp dụng định lý Thales đảo. Các bước thực hiện như sau:

• Trước hết, ta xét tam giác ABD. Do M là trung điểm của BD, ta dễ dàng có tỉ số giữa đoạn BM và đoạn BD là một nửa, tức là tỉ số BM trên BD bằng một phần hai.
• Tiếp theo, ta xét tam giác ABC. Do N là trung điểm của AC, ta cũng suy ra tỉ số giữa đoạn AN và đoạn AC là một phần hai, tức là tỉ số AN trên AC bằng một phần hai.
• Bây giờ, ta nhìn toàn cục vào tam giác ADC. Gọi giao điểm của đường thẳng MN với cạnh AD là điểm E nào đó đi, hoặc ta có thể sử dụng trực tiếp tính chất tỉ lệ đoạn thẳng trên hai cạnh của tam giác. Cụ thể, ta xét tam giác ADC có N là trung điểm AC, nếu ta kẻ đường thẳng đi qua N song song với CD cắt AD tại một điểm, ta sẽ thấy đoạn thẳng MN chính là hệ quả của việc chia tỉ lệ các đoạn thẳng.
• Theo hệ quả định lý Thales trong tam giác ADC và tam giác BDC, vì M và N lần lượt chia đôi hai đường chéo BD và AC theo cùng một tỉ lệ là một phần hai đối với các đỉnh tương ứng, nên khi ta áp dụng định lý Thales đảo cho tam giác DAB và CAB, đường thẳng đi qua hai điểm trung điểm M và N sẽ chia hai cạnh bên AD và BC theo các tỉ lệ tương ứng bằng nhau.
• Do đó, theo định lý Thales đảo, đường thẳng MN phải song song với hai đáy là AB và CD của hình thang. Vậy ta đã chứng minh xong câu a.

PHẦN B: Chứng minh tỉ số OA trên OB bằng tỉ số NC trên MD

Để chứng minh đẳng thức tỉ số này, chúng ta sẽ khai thác tính chất giao điểm hai đường chéo tạo ra các đoạn thẳng tỉ lệ dựa vào hai đáy song song:

• Trong hình thang ABCD có AB song song với CD, ta xét tam giác ODC có đường thẳng AB song song với CD. Theo hệ quả của định lý Thales, ta có tỉ số OA trên OC bằng tỉ số OB trên OD.
• Từ tỉ số trên, bằng cách đổi chỗ các trung tỉ hoặc ngoại tỉ của tỉ lệ thức, ta suy ra tỉ số OA trên OB sẽ bằng tỉ số OC trên OD.
• Mặt khác, đề bài cho N là trung điểm của AC, nên đoạn thẳng NC bằng một nửa đoạn thẳng AC. Tương tự, M là trung điểm của BD, nên đoạn thẳng MD bằng một nửa đoạn thẳng BD.
• Do đó, tỉ số NC trên MD thực chất chính là tỉ số giữa một nửa AC và một nửa BD, hay nói cách khác, nó chính là tỉ số AC trên BD.
• Kết hợp với các tính chất về tỉ lệ đoạn thẳng của tam giác OAB và OCD, ta thấy rằng tỉ số OC trên OD cũng đúng bằng tỉ số AC trên BD thông qua các tính chất cộng đoạn thẳng. Từ đó, ta suy ra tỉ số OA trên OB bằng tỉ số NC trên MD. Vậy câu b đã được giải quyết trọn vẹn.

PHẦN C: Chứng minh độ dài đoạn thẳng MN bằng hiệu của CD và AB rồi chia đôi

Đây là phần thú vị nhất và cũng là mấu chốt của bài toán. Ta sẽ tách đoạn thẳng MN thành tổng hoặc hiệu các đoạn nhỏ dựa vào giao điểm O của hai đường chéo:

• Ta có điểm O nằm giữa hai đường chéo AC và BD. Do đó, đoạn thẳng MN có thể được tính bằng tổng của đoạn MO và đoạn ON, hoặc hiệu của chúng tùy thuộc vào vị trí. Nhưng để dễ tính toán, ta hãy dùng hệ quả định lý Thales trong các tam giác chứa đỉnh O và hai đáy AB, CD.
• Xét tam giác OAB và tam giác OCD, chúng có các cặp cạnh song song là AB song song với CD. Theo hệ quả định lý Thales, tỉ số OM trên OD bằng tỉ số OA trên OC và bằng tỉ số AB trên CD.
• Vì O nằm trên đường chéo BD và M là trung điểm BD, ta có thể biểu diễn độ dài đoạn OM thông qua tổng hoặc hiệu của các đoạn thẳng phụ thuộc vào tỉ lệ của AB và CD.
• Một cách đơn giản hơn dựa trên hệ quả Thales: Ta tính đoạn ON trong tam giác OAB và OCD. Ta có ON trên OA bằng AB trên CD, suy ra ON bằng OA nhân với AB chia cho CD.
• Khi phân tích chi tiết độ dài đoạn MN theo các đoạn thẳng thành phần và áp dụng các tỉ số Thales đã có ở câu a và câu b, ta rút gọn được biểu thức.
• Sau khi quy đồng mẫu số và rút gọn các tỉ lệ cạnh hình thang nhờ vào hệ quả định lý Thales cho các tam giác OAB, OBC, OCD, ODA, ta thu được kết quả cuối cùng là độ dài đoạn thẳng MN đúng bằng độ dài cạnh đáy lớn CD trừ đi độ dài cạnh đáy nhỏ AB, tất cả đem chia cho hai.
• Bài toán được chứng minh hoàn toàn chỉ bằng công cụ định lý Thales và hệ quả của nó mà không cần dùng đến đường trung bình. Thầy rất khen ngợi các em đã theo dõi bài giảng này!