cho biểu thức p=2/căn x-2 : (căn x /x-4 + 1/căn x -2) a)rút gọn biểu…
a)rút gọn biểu thức p
b) tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức p có giá trị nguyên
Chào em, thầy/cô rất vui được giúp em giải đáp bài toán rút gọn biểu thức và tìm giá trị nguyên lớp 9 này. Đây là một dạng toán rất hay và thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Chúng ta hãy cùng nhau giải chi tiết từng bước nhé.
Phần a) Rút gọn biểu thức
Trước khi làm bài, em luôn phải nhớ viết điều kiện xác định (ĐKXD). Dựa vào các mẫu số trong biểu thức gồm căn x trừ 2, x trừ 4 (tức là căn x trừ 2 nhân với căn x cộng 2), điều kiện xác định của chúng ta là:
- x lớn hơn hoặc bằng 0
- x khác 4
Bây giờ, chúng ta sẽ phân tích biểu thức P gồm hai phần: phép chia của phân thức thứ nhất cho tổng của hai phân thức trong ngoặc.
Bước 1: Rút gọn phần biểu thức nằm trong ngoặc đơn.
- Biểu thức trong ngoặc là: căn x chia cho (x trừ 4) cộng với 1 chia cho (căn x trừ 2).
- Ta phân tích mẫu số x trừ 4 thành nhân tử bằng hằng đẳng thức: (căn x trừ 2) nhân với (căn x cộng 2).
- Mẫu thức chung cho trong ngoặc chính là (căn x trừ 2) nhân với (căn x cộng 2).
- Quy đồng mẫu số các phân thức trong ngoặc, ta được tử số mới là: căn x cộng với (căn x cộng 2).
- Thu gọn tử số trong ngoặc ta được: 2 lần căn x cộng 2.
- Đặt nhân tử chung ở tử số, ta có: 2 nhân với (căn x cộng 1).
- Như vậy, kết quả sau khi rút gọn trong ngoặc là: 2 nhân với (căn x cộng 1) chia cho tích (căn x trừ 2) nhân (căn x cộng 2).
Bước 2: Thực hiện phép chia phân thức ban đầu cho kết quả trong ngoặc.
- Biểu thức P lúc này trở thành: 2 chia cho (căn x trừ 2) chia cho phân thức vừa rút gọn ở bước 1.
- Thực hiện phép chia bằng cách nhân với phân thức nghịch đảo của ngoặc.
- Ta lấy 2 chia cho (căn x trừ 2) nhân với phân thức nghịch đảo là: tích (căn x trừ 2) nhân (căn x cộng 2) chia cho 2 nhân với (căn x cộng 1).
- Quan sát tử và mẫu, ta thấy số 2 ở tử và mẫu triệt tiêu cho nhau. Thừa số (căn x trừ 2) ở tử và mẫu cũng triệt tiêu cho nhau.
- Kết quả cuối cùng sau khi rút gọn biểu thức P là: (căn x cộng 2) chia cho (căn x cộng 1).
Phần b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P có giá trị nguyên
Để tìm x nguyên sao cho P nguyên, ta sẽ biến đổi biểu thức P về dạng số nguyên cộng với một phân số có tử số là hằng số. Từ đó lập luận tìm x dựa vào ước của tử số.
Bước 1: Tách biểu thức P.
- Ta có P bằng (căn x cộng 2) chia cho (căn x cộng 1).
- Thêm bớt ở tử số để xuất hiện mẫu số: P bằng (căn x cộng 1 cộng 1) chia cho (căn x cộng 1).
- Tách phân thức thành: (căn x cộng 1) chia cho (căn x cộng 1) cộng với 1 chia cho (căn x cộng 1).
- Rút gọn ta được: P bằng 1 cộng với 1 chia cho (căn x cộng 1).
Bước 2: Lập luận tìm x nguyên.
- Vì 1 là số nguyên, nên để P là số nguyên thì phân số 1 chia cho (căn x cộng 1) phải có giá trị là một số nguyên.
- Điều này có nghĩa là (căn x cộng 1) phải là ước số của 1.
- Các ước của 1 bao gồm: âm 1 và dương 1.
Bước 3: Giải các trường hợp của căn x cộng 1.
- Trường hợp 1: căn x cộng 1 bằng 1. Suy ra căn x bằng 0. Suy ra x bằng 0. (Thỏa mãn điều kiện xác định và x là số nguyên).
- Trường hợp 2: căn x cộng 1 bằng âm 1. Suy ra căn x bằng âm 2. Trường hợp này vô lý vì giá trị của căn bậc hai luôn lớn hơn hoặc bằng 0.
Bước 4: Kết luận.
- Đối chiếu với điều kiện ban đầu (x lớn hơn hoặc bằng 0, x khác 4) và yêu cầu x là số nguyên, ta nhận giá trị x bằng 0.
- Vậy với x bằng 0 thì biểu thức P nhận giá trị nguyên.
Hy vọng qua lời giải chi tiết này của thầy/cô, em đã nắm vững cách làm dạng bài tập rút gọn và tìm giá trị nguyên. Chúc em học tập thật tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán nhé!
\(#bot\)
a)
\(P=2/(sqrtx-2) : (sqrtx/(x-4)+1/(sqrtx-2))\)
(ĐKXĐ: \(x ne 4,x>=0\))
\(P=2/(sqrtx-2) : (sqrtx/((sqrtx-2)(sqrtx+2))+1/(sqrtx-2))\)
\(P=2/(sqrtx-2) : (sqrtx/((sqrtx-2)(sqrtx+2))+(sqrtx+2)/((sqrtx-2)(sqrtx+2)))\)
\(P=2/(sqrtx-2) : (sqrtx+sqrtx+2)/((sqrtx-2)(sqrtx+2))\)
\(P=2/(sqrtx-2) * ((sqrtx-2)(sqrtx+2))/(2sqrtx+2)\)
\(P=(2(sqrtx+2))/(2sqrtx+2)\)
\(P=(2(sqrtx+2))/(2(sqrtx+1))\)
\(P=(sqrtx+2)/(sqrtx+1)\)
b)
\(P=(sqrtx+2)/(sqrtx+1)=(sqrtx+1+1)/(sqrtx+1)=1+1/(sqrtx+1)(x ne 4,x>=0)\)
để \(P in ZZ\) thì \(1 vdots (sqrtx+1)\)
suy ra \((sqrtx+1) in Ư(1)\)
suy ra \(sqrtx+1=1\) (do \(sqrtx>=0=>sqrtx+1>=1\))
suy ra \(sqrtx=0\)
suy ra \(x=0\) (tmđkxđ)
vậy khi \(x=0\) thì \(P in ZZ\)
Đáp án+Giải thích các bước giải:
\(a)\) \(P=(2)/(\sqrt{x}-2):((\sqrt{x})/(x-4)+(1)/(\sqrt{x}-2))\)
\(( đ k : x\ge0;x\ne4)\)
\(=(2)/(\sqrt{x}-2):[(\sqrt{x})/((\sqrt{x}-2).(\sqrt{x}+2))+(\sqrt{x}+2)/((\sqrt{x}-2).(\sqrt{x}+2))]\)
\(=(2)/(\sqrt{x}-2):(\sqrt{x}+\sqrt{x}+2)/((\sqrt{x}-2).(\sqrt{x}+2))\)
\(=(2)/(\sqrt{x}-2).((\sqrt{x}-2).(\sqrt{x}+2))/(2\sqrt{x}+2)\)
\(=(2.(\sqrt{x}-2).(\sqrt{x}+2))/((\sqrt{x}-2).2.(\sqrt{x}+1))\)
\(=(\sqrt{x}+2)/(\sqrt{x}+1)\)
Vậy \(P=(\sqrt{x}+2)/(\sqrt{x}+1)\) với \(x\ge0;x\ne4\)
\(b)\) Ta có: \(P=(\sqrt{x}+2)/(\sqrt{x}+1)( đ k : x\inZZ;x\ge0;x\ne4)\)
\(=(\sqrt{x}+1+1)/(\sqrt{x}+1)\)
\(=(\sqrt{x}+1)/(\sqrt{x}+1)+(1)/(\sqrt{x}+1)\)
\(=1+(1)/(\sqrt{x}+1)\)
Để \(P\inZZ\) thì: \((1)/(\sqrt{x}+1)\inZZ\)
\(->(\sqrt{x}+1)\in Ư(1)={\pm1}\)
\(+)TH1: \sqrt{x}+1=-1->\sqrt{x}=-2\) (Vô lí)
\(+)TH2: \sqrt{x}+1=1->\sqrt{x}=0->x=0(tmđk)\)
Vậy \(x=0\) để \(P\inZZ\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment