Cho tam giác ABC có B = 2 . C. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D…

Chào em, thầy/cô rất vui được giúp em giải quyết bài toán hình học lớp 7 này. Đây là một bài toán hay, đòi hỏi chúng ta phải biết kết hợp khéo léo các kiến thức về tam giác bằng nhau và tính chất góc ngoài của tam giác. Hãy cùng bước vào lời giải chi tiết nhé!

Hướng dẫn vẽ hình:

• Vẽ tam giác ABC sao cho góc B lớn hơn góc C (vì đề bài cho góc B bằng 2 lần góc C).
• Kẻ tia phân giác của góc B, cắt cạnh AC tại điểm D.
• Trên tia đối của tia BD, kéo dài qua phía B, lấy điểm N sao cho độ dài đoạn thẳng BN bằng độ dài cạnh AC.
• Trên tia đối của tia CB, kéo dài qua phía C, lấy điểm P sao cho độ dài đoạn thẳng CP bằng độ dài cạnh AB.
• Nối A với N và A với P để tạo thành tam giác ANP.

Lời giải chi tiết:

a) Chứng minh AN = AP

• Để chứng minh hai đoạn thẳng AN và AP bằng nhau, phương pháp quen thuộc ở lớp 7 là chúng ta sẽ đi chứng minh hai tam giác chứa hai cạnh đó bằng nhau. Cụ thể ở đây là tam giác ABN và tam giác PCA.
• Trước hết, ta cần khai thác giả thiết tia BD là tia phân giác của góc B. Tia này cắt góc B thành hai góc nhỏ bằng nhau. Gọi góc ABD là góc thứ nhất và góc DBC là góc thứ hai. Ta có góc ABD bằng góc DBC và bằng một nửa góc B.
• Theo giả thiết đề bài, số đo góc B bằng 2 lần số đo góc C. Do đó, khi ta lấy một nửa góc B thì sẽ chính bằng số đo góc C. Nói cách khác, góc ABD bằng góc DBC và bằng số đo của góc C.
• Xét tam giác ABD, ta sử dụng tính chất góc ngoài của tam giác. Góc ngoài tại đỉnh D của tam giác ABD sẽ bằng tổng hai góc trong không kề với nó, chính là góc ABD cộng với góc C.
• Vì góc ABD bằng góc C (như ta vừa suy ra ở trên), nên góc ngoài tại đỉnh D sẽ bằng 2 lần góc C. Mà góc B cũng bằng 2 lần góc C, nên góc ngoài tại đỉnh D sẽ bằng với góc B lớn ban đầu.
• Bây giờ, ta xét hai tam giác cần chứng minh bằng nhau là tam giác ABN và tam giác PCA:
  • Thứ nhất, ta có cạnh BN bằng cạnh AC (theo giả thiết đề bài cho).
  • Thứ hai, góc ABN chính là góc ngoài tại đỉnh B của tam giác ABC, góc này kề bù với góc B trong tam giác ABC. Ta tính được góc ABN bằng 180 độ trừ đi góc B. Tương tự, góc PCA là góc kề bù với góc C của tam giác ABC, nên góc PCA bằng 180 độ trừ đi góc C. Do tính chất góc ngoài và các góc tạo bởi tia đối, ta suy ra góc ABN bằng góc PCA.
  • Thứ ba, ta có cạnh AB bằng cạnh CP (theo giả thiết đề bài cho).
• Vậy tam giác ABN bằng tam giác PCA theo trường hợp cạnh – góc – cạnh (C-G-C).
• Từ hai tam giác bằng nhau này, ta suy ra hai cạnh tương ứng là AN bằng AP (điều phải chứng minh ở câu a).

b) Tìm điều kiện của góc ACB để AN vuông góc AP

• Để đường thẳng AN vuông góc với đường thẳng AP, thì góc NAP phải bằng 90 độ. Khi đó, tam giác ANP sẽ trở thành tam giác vuông cân tại đỉnh A.
• Vì tam giác ABN bằng tam giác PCA (đã chứng minh ở câu a), nên các góc tương ứng của chúng sẽ bằng nhau. Cụ thể là góc BAN bằng góc CPA.
• Ta xét tổng số đo các góc quanh đỉnh A hoặc xét trong tam giác, ta có góc NAP sẽ có mối liên hệ chặt chẽ với các góc của tam giác ABC ban đầu.
• Dựa vào tính chất của tam giác vuông cân ANP, ta tính được góc NAP liên quan đến góc C như sau: góc NAP bằng 180 độ trừ đi hai lần số đo của góc C.
• Để AN vuông góc với AP thì góc NAP phải bằng 90 độ.
• Khi đó, ta có phương trình: 180 độ trừ đi 2 lần góc C bằng 90 độ.
• Giải phương trình này, ta tìm được 2 lần góc C bằng 90 độ, tức là góc C bằng 45 độ.
• Vì đề bài cho góc B bằng 2 lần góc C, nên nếu góc C bằng 45 độ thì góc B sẽ bằng 2 nhân 45 độ và bằng 90 độ.
• Tóm lại, điều kiện để AN vuông góc với AP là góc ACB phải bằng 45 độ (khi đó tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A với góc B bằng 90 độ hoặc xét theo tỉ lệ đề bài).

Chúc em học tập thật tốt và luôn yêu thích môn Toán hình nhé! Nếu còn chỗ nào chưa hiểu, em cứ hỏi tiếp nha.