Cho đường tròn (O) có hai dây AB và CD bằng nhau và vuông góc với…

Chào các em học sinh lớp 9 yêu quý của thầy. Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau ôn tập và giải chi tiết một bài toán hình học rất hay và điển hình về đường tròn, dây cung và khoảng cách. Các em hãy lấy vở ghi chép cẩn thận nhé.

Phần a: Chứng minh tứ giác OMHN là hình vuông

Để chứng minh một tứ giác là hình vuông, phương pháp quen thuộc nhất của chúng ta là chứng minh nó là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau, hoặc chứng minh nó có ba góc vuông và hai đường chéo bằng nhau. Trong bài này, thầy trò mình sẽ đi theo hướng chứng minh hình chữ nhật có thêm một cặp cạnh kề bằng nhau.

• Bước 1: Chứng minh OMHN là hình chữ nhật.
• Theo đề bài, M là hình chiếu vuông góc của O trên dây AB, điều này có nghĩa là đoạn thẳng OM vuông góc với AB tại M, hay góc OMH bằng 90 độ.
• Tương tự, N là hình chiếu vuông góc của O trên dây CD, nên ON vuông góc với CD tại N, hay góc ONH bằng 90 độ.
• Giao điểm của hai dây AB và CD là H, nên góc MHN (hay góc AHB) bằng 90 độ theo giả thiết hai dây vuông góc với nhau tại H.
• Xét tứ giác OMHN, ta thấy nó có ba góc vuông là góc OMH, góc ONH và góc MHN. Do đó, tứ giác OMHN là một hình chữ nhật.
• Bước 2: Chứng minh hình chữ nhật OMHN là hình vuông.
• Trong một đường tròn, khoảng cách từ tâm đến hai dây bằng nhau khi và chỉ khi hai dây đó bằng nhau.
• Theo giả thiết của đề bài, hai dây cung AB và CD có độ dài bằng nhau (AB = CD).
• Vì hai dây AB và CD bằng nhau và tâm O cách đều hai dây này qua các đoạn vuông góc OM và ON, nên ta suy ra độ dài đoạn thẳng OM bằng độ dài đoạn thẳng ON.
• Một hình chữ nhật (là OMHN) lại có hai cạnh kề OM và ON bằng nhau thì hình chữ nhật đó chính là hình vuông. Vậy tứ giác OMHN là hình vuông (điều phải chứng minh).

Phần b: Tính tổng khoảng cách từ tâm O đến hai dây AB và CD khi biết HA = 7 cm và HB = 17 cm

Yêu cầu của đề bài là tính tổng khoảng cách từ O đến hai dây AB và CD. Khoảng cách từ O đến AB chính là đoạn OM, và khoảng cách từ O đến CD chính là đoạn ON. Vì OMHN là hình vuông (đã chứng minh ở phần a), nên ta có OM = ON = MH = NH. Do đó, bài toán quy về việc đi tính độ dài của đoạn thẳng OM hoặc MH.

• Bước 1: Tính tổng độ dài dây cung AB.
• Theo đề bài, ta có đoạn thẳng HA bằng 7 cm và HB bằng 17 cm. Điểm H nằm trên đoạn thẳng AB, nên độ dài dây AB là tổng của HA và HB.
• Ta tính được độ dài AB = 7 cộng với 17, kết quả bằng 24 cm.
• Bước 2: Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB (đoạn OM).
• Từ tâm O của đường tròn, ta kẻ đường vuông góc OM xuống dây AB. Theo tính chất đường kính vuông góc với dây cung, đường vuông góc này sẽ đi qua trung điểm của dây cung.
• Do đó, điểm M là trung điểm của dây AB. Ta tính được độ dài đoạn thẳng MA bằng độ dài đoạn thẳng MB và bằng AB chia đôi.
• Lấy 24 cm chia cho 2, ta được kết quả MA = MB = 12 cm.
• Bây giờ, ta xét đoạn thẳng HA. Ta thấy đoạn MA được cấu thành từ đoạn HA cộng với đoạn HM. Do đó, để tính độ dài đoạn MH, ta lấy độ dài đoạn MA trừ đi độ dài đoạn HA.
• Ta có MH = 12 trừ đi 7, kết quả bằng 5 cm.
• Bước 3: Tính tổng khoảng cách từ O đến hai dây cung.
• Vì OMHN là hình vuông, các cạnh của nó đôi một bằng nhau, nên ta suy ra OM = MH = 5 cm.
• Đoạn OM là khoảng cách từ O đến dây AB, và đoạn ON là khoảng cách từ O đến dây CD. Vì OM = ON nên ON cũng bằng 5 cm.
• Tổng khoảng cách từ O đến hai dây AB và CD chính là tổng của OM và ON.
• Ta tính được tổng khoảng cách bằng 5 cộng với 5, kết quả cuối cùng bằng 10 cm.

Như vậy, chúng ta đã hoàn thành trọn vẹn hai ý của bài toán. Các em hãy xem lại từng bước lập luận, chú ý cách sử dụng tính chất hình học của đường tròn và các dấu hiệu nhận biết hình vuông để làm tài liệu ôn tập thật tốt nhé. Chúc các em học giỏi!