cho{ x bình.(y bình+1) =2 { (xy) bình+xy+1=3x bình Giải hpt
{ (xy) bình+xy+1=3x bình
Giải hpt
Chào em, một câu hỏi rất hay và thú vị trong chương trình Toán lớp 9 phần hệ phương trình. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần quan sát thật kỹ cấu trúc của từng phương trình để tìm ra phương pháp biến đổi thích hợp, thường là phương pháp đặt ẩn phụ hoặc phân tích thành nhân tử. Thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau giải chi tiết từng bước nhé.
Bước 1: Phân tích điều kiện xác định và nhận xét hệ phương trình
Trước hết, chúng ta có thể nhận thấy x bằng 0 không thể là nghiệm của hệ phương trình. Thật vậy, nếu x bằng 0 thay vào phương trình thứ hai ta sẽ được 1 bằng 0, điều này vô lý. Do đó, trong suốt quá trình giải, ta luôn có điều kiện x khác 0.
Bước 2: Biến đổi phương trình thứ nhất
Phương trình đầu tiên của chúng ta là: x bình nhân với tổng của y bình và 1 bằng 2.
Ta nhân tung ra và chuyển vế để thu gọn, ta được phương trình: x bình nhân y bình cộng với x bình trừ 2 bằng 0.
Vì x bình nhân y bình chính là bình phương của tích xy, nên ta viết lại thành: mở ngoặc xy đóng ngoặc bình cộng x bình trừ 2 bằng 0. Hãy ghi nhớ phương trình này là phương trình số (3).
Bước 3: Biến đổi phương trình thứ hai
Phương trình thứ hai của đề bài là: bình phương của xy cộng xy cộng 1 bằng 3 lần x bình.
Ta chuyển toàn bộ các hạng tử sang vế trái để được dạng bằng 0: mở ngoặc xy đóng ngoặc bình cộng xy cộng 1 trừ đi 3 lần x bình bằng 0. Ta gọi đây là phương trình số (4).
Bước 4: Kết hợp phương trình (3) và (4) để khử bớt ẩn
Để làm gọn hệ, ta có thể tìm cách loại bỏ số hạng chứa x bình. Từ phương trình (3), ta rút ra được: x bình bằng 2 trừ đi mở ngoặc xy đóng ngoặc bình.
Bây giờ, ta thay biểu thức của x bình này vào phương trình (4):
mở ngoặc xy đóng ngoặc bình cộng xy cộng 1 trừ đi 3 nhân với mở ngoặc 2 trừ đi mở ngoặc xy đóng ngoặc bình đóng ngoặc bằng 0.
Bước 5: Giải phương trình với ẩn phụ là xy
Để dễ nhìn, em có thể đặt ẩn phụ t bằng xy. Khi đó phương trình trên trở thành phương trình bậc hai đối với t:
t bình cộng t cộng 1 trừ 6 cộng 3t bình bằng 0
Thu gọn lại ta được phương trình bậc hai: 4t bình cộng t trừ 5 bằng 0.
Ta thấy tổng các hệ số của phương trình này bằng 0 (vì 4 cộng 1 trừ 5 bằng 0), nên phương trình có hai nghiệm rất đẹp là:
- Nghiệm thứ nhất: t bằng 1
- Nghiệm thứ hai: t bằng âm 5 phần 4
Bước 6: Tìm các giá trị tương ứng của x và y
Ứng với mỗi giá trị của t (tức là xy), ta sẽ tìm x và y như sau:
Trường hợp 1: Khi t bằng 1, ta có xy bằng 1, suy ra y bằng 1 phần x.
Thay xy bằng 1 vào phương trình (3): mở ngoặc 1 đóng ngoặc bình cộng x bình trừ 2 bằng 0.
Suy ra x bình trừ 1 bằng 0, tức là x bình bằng 1.
Do đó ta tìm được hai giá trị của x:
- Với x bằng 1, ta tính được y bằng 1 phần 1 bằng 1. Ta được cặp nghiệm thứ nhất: x bằng 1, y bằng 1.
- Với x bằng âm 1, ta tính được y bằng 1 phần âm 1 bằng âm 1. Ta được cặp nghiệm thứ hai: x bằng âm 1, y bằng âm 1.
Trường hợp 2: Khi t bằng âm 5 phần 4, ta có xy bằng âm 5 phần 4.
Thay giá trị này vào phương trình (3) để tính x bình:
mở ngoặc âm 5 phần 4 đóng ngoặc bình cộng x bình trừ 2 bằng 0
Suy ra 25 phần 16 cộng x bình trừ 2 bằng 0, tức là x bình bằng 2 trừ 25 phần 16 bằng 7 phần 16.
Do đó ta tìm được x bằng cộng hoặc trừ căn bậc hai của 7 phần 4.
Từ đó ta tìm các giá trị tương ứng của y bằng cách lấy xy chia cho x:
- Với x bằng căn 7 phần 4, ta tính được y bằng âm 5 phần căn 7.
- Với x bằng âm căn 7 phần 4, ta tính được y bằng 5 phần căn 7.
Bước 7: Kết luận nghiệm của hệ phương trình
Vậy hệ phương trình đã cho có tổng cộng 4 cặp nghiệm như sau:
- Cặp nghiệm thứ nhất: x bằng 1, y bằng 1
- Cặp nghiệm thứ hai: x bằng âm 1, y bằng âm 1
- Cặp nghiệm thứ ba: x bằng căn 7 phần 4, y bằng âm 5 phần căn 7
- Cặp nghiệm thứ tư: x bằng âm căn 7 phần 4, y bằng 5 phần căn 7
Thầy hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm được cách đặt ẩn phụ và kết hợp linh hoạt các phương trình trong hệ bậc cao ở chương trình Toán lớp 9. Chúc các em học tập thật tốt!
ĐK: \(x!=0\)
Từ phương trình đầu tiên:
\(x^2(y^2+1)=2\)
\((xy)^2+x^2=2\)
\((xy)^2=2-x^2\)
Thay vào phương trình thứ hai:
\(2-x^2+xy+1=3x^2\)
\(xy=4x^2-3\) \((1)\)
\((xy)^2=16x^4-24x^2+9\)
\(2-x^2=16x^4-24x^2+9\)
\(16x^4-23x^2+7=0\)
\((x^2-1)(16x^2-7)=0\)
\(text{TH1}: x^2=1 -> x=1\) hoặc \(x=-1\)
Nếu \(x=1\):
Thay vào \((1)\):
\(y=4*1^2-3\)
\(y=1\)
Nếu \(x=-1\):
Thay vào \((1)\):
\(-y=4*(-1)^2-3\)
\(-y=1\)
\(y=-1\)
\(text{TH2}: x^2=7/16->x=sqrt(7)/4\) hoặc \(x=-sqrt(7)/4\)
Nếu \(x=sqrt(7)/4\):
Thay vào \((1)\):
\(sqrt(7)/4y=4*7/16-3\)
\(sqrt(7)/4y=-5/4\)
\(y=(-5sqrt(7))/7\)
Nếu \(x=-sqrt(7)/4\):
Thay vào \((1)\):
\(-sqrt(7)/4y=4*7/16-3\)
\(-sqrt(7)/4y=-5/4\)
\(y=(5sqrt(7))/7\)
Vậy hệ có nghiệm:
\((x;y)=(1; 1), (-1; -1), (sqrt(7) / 4; (-5sqrt(7))/7), (-sqrt(7) / 4; (5sqrt(7))/ 7)\)
Đáp án+Giải thích các bước giải:
Xét hệ phương trình:
\begin{cases} x^2(y^2+1) = 2 \quad (1) \\ (xy)^2+xy+1=3x^2 \quad (2) \end{cases}
Với x = 0, từ (1) ta được 0=2(vô lí)
Với x khác 0, chia cả hai vế của (1) và (2) cho x^2:
\begin{cases} y^2 + 1 = \dfrac{2}{x^2} \\ y^2 + \dfrac{y}{x} + \dfrac{1}{x^2} = 3 \end{cases}
\(\Leftrightarrow \begin{cases} y^2 – \dfrac{2}{x^2} = -1 \\ y^2 + \dfrac{y}{x} + \dfrac{1}{x^2} = 3 \end{cases}\)
Đặt y = a và 1/x = b
\begin{cases} a^2 – 2b^2 = -1 \quad (3) \\ a^2 + ab + b^2 = 3 \quad (4) \end{cases}
Nhân chéo vế (3) và (4)
\[3(a^2 – 2b^2) = -1(a^2 + ab + b^2)\]
\[\Leftrightarrow 3a^2 – 6b^2 = -a^2 – ab – b^2\]
\[\Leftrightarrow 4a^2 + ab – 5b^2 = 0\]
\[\Leftrightarrow (a – b)(4a + 5b) = 0\]
\[\Leftrightarrow \left[\begin{aligned} & a = b \\ & 4a = -5b \end{aligned}\right.\]
Trường hợp 1: Với a = b suy ra y = 1/x hay xy = 1.
Thay xy = 1 vào phương trình (2) ban đầu:
\[1^2 + 1 + 1 = 3x^2 \Leftrightarrow 3x^2 = 3 \Leftrightarrow x^2 = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1\]
– Với x = 1 thì y = 1
– Với x = -1 thì y = -1
Trường hợp 2: Với 4a = -5b suy ra 4y = -5/x hay xy = -5/4.
Thay xy = -5/4 vào phương trình (2) ban đầu:
\[\left(-\dfrac{5}{4}\right)^2 – \dfrac{5}{4} + 1 = 3x^2 \Leftrightarrow 3x^2 = \dfrac{21}{16} \Leftrightarrow x^2 = \dfrac{7}{16} \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\sqrt{7}}{4}\]
– Với x = \dfrac{\sqrt{7}}{4} thì y = -\dfrac{5\sqrt{7}}{7}
– Với x = -\dfrac{\sqrt{7}}{4} thì y = \dfrac{5\sqrt{7}}{7}
Vậy hệ có các cặp nghiệm (x; y) là:
(1; 1), (-1; -1), (\dfrac{\sqrt{7}}{4}; -\dfrac{5\sqrt{7}}{7}), (-\dfrac{\sqrt{7}}{4}; \dfrac{5\sqrt{7}}{7})
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment