tìm m để hệ phương trình x,y có nghiệm đồng nhất thoả mãn. x>0,y>0…
tìm m để hệ phương trình x,y có nghiệm đồng nhất thoả mãn. x>0,y>0. (1)x-y=1. (2)MX+y=m+1
Chào các em học sinh lớp 9 yêu quý! Hôm nay, thầy/cô sẽ hướng dẫn các em giải một dạng toán quen thuộc nhưng rất hay gặp trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10, đó là tìm tham số m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước.
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước cơ bản sau đây:
Bước 1: Giải hệ phương trình theo tham số m
Hệ phương trình của chúng ta gồm hai phương trình:
- Phương trình thứ nhất: x trừ y bằng 1
- Phương trình thứ hai: m nhân x cộng y bằng m cộng 1
Từ phương trình thứ nhất, chúng ta rút y theo x như sau:
y bằng x trừ 1
Thế biểu thức của y vào phương trình thứ hai, ta được:
m nhân x cộng với ngoặc (x trừ 1) đóng ngoặc bằng m cộng 1
Khai triển và thu gọn phương trình trên theo ẩn x, ta có:
m nhân x cộng x trừ 1 bằng m cộng 1
Đặt x làm nhân tử chung ở vế trái:
x nhân với ngoặc (m cộng 1) đóng ngoặc trừ 1 bằng m cộng 1
Chuyển trừ 1 sang vế phải:
x nhân với ngoặc (m cộng 1) đóng ngoặc bằng m cộng 2
Bước 2: Biện luận nghiệm theo m
Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (nghiệm đồng nhất), hệ số của x phải khác 0, tức là:
m cộng 1 khác 0 suy ra m khác âm 1.
Khi m khác âm 1, ta tìm được x:
x bằng phân số với tử số là m cộng 2 và mẫu số là m cộng 1.
Tiếp theo, ta tìm y bằng cách thế x vào biểu thức y bằng x trừ 1:
y bằng phân số (m cộng 2) chia cho (m cộng 1) trừ đi 1
Quy đồng mẫu số để rút gọn y:
y bằng phân số với tử số là (m cộng 2 trừ mở ngoặc m cộng 1 đóng ngoặc) và mẫu số là m cộng 1
y bằng phân số với tử số là 1 và mẫu số là m cộng 1.
Vậy nghiệm duy nhất của hệ phương trình là: x bằng (m cộng 2)/(m cộng 1) và y bằng 1/(m cộng 1).
Bước 3: Đối chiếu với điều kiện bài toán
Bài toán yêu cầu tìm m để nghiệm (x, y) thỏa mãn điều kiện x lớn hơn 0 và y lớn hơn 0.
Ta có hệ bất phương trình sau:
- x lớn hơn 0 tương đương với phân số (m cộng 2)/(m cộng 1) lớn hơn 0
- y lớn hơn 0 tương đương với phân số 1/(m cộng 1) lớn hơn 0
Giải hệ bất phương trình này:
- Vì tử số của y là 1 (là số dương), nên để phân số 1/(m cộng 1) lớn hơn 0 thì mẫu số m cộng 1 phải lớn hơn 0. Suy ra m lớn hơn âm 1.
- Với điều kiện m lớn hơn âm 1, ta xét tiếp điều kiện của x. Khi m lớn hơn âm 1 thì mẫu số m cộng 1 là số dương. Do đó, để phân số (m cộng 2)/(m cộng 1) lớn hơn 0 thì tử số m cộng 2 phải là số dương. Suy ra m lớn hơn âm 2.
Kết hợp cả hai điều kiện của m, ta thấy m phải lớn hơn âm 1. Đồng thời, điều kiện này cũng thỏa mãn yêu cầu m khác âm 1 ở bước biện luận.
Kết luận:
Vậy giá trị của m cần tìm để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện x lớn hơn 0 và y lớn hơn 0 là m lớn hơn âm 1.
Chúc các em học tốt và luôn đạt kết quả cao trong môn Toán nhé!
Đáp án+Giải thích các bước giải:
\({(x-y=1),(mx+y=m+1):}\)
\({((m+1)x=m+2),(y=x-1):}\)
ĐK:\(m+1\ne0<=>m\ne-1\)
\({(x=(m+2)/(m+1)),(y=(m+2)/(m+1)-1):}\)
\(<=>{(x=(m+1)/(m+1)),(y=1/(m+1)):}\)
ĐK:\(x>0;y>0\)
\(<=>{(x>0),(y>0):}\)
\(<=>{((m+2)/(m+1)>0),(1/(m+1)>0):}\)
\(<=>{(m+2>0),(m+1>0):}\)
\(<=>{(m> -2),(m> -1):}\)
\(<=>m> -1\)
\(->\)Hệ phương trình có nghiệm \((x,y)\) thỏa mãn \(x>0;y>0\) khi \(m> -1\)
Đáp án\(+\)Giải thích các bước giải:
Ta có:\({(x -y = 1),(mx + y = m + 1):}\)
\(<=> {(x = 1 +y),(m(y + 1) + y = m + 1):}\)
\(<=> {(x = 1 +y),(my + m + y = m + 1):}\)
\(<=> {(x = 1 + y),(y(m + 1) = 1):}\)
\(<=> {(x = 1+ y),(y = 1/(m + 1)):}\)
\(<=> {(x= 1 + 1/(m + 1)),(y= 1/(m + 1)):}\)
\(<=> {(x = (m + 2)/(m + 1)),(y = 1/(m + 1)):}\)
Để phương trình có nghiệm \((x;y)\) thỏa mãn \(x;y > 0\) thì:
\({(m + 1 \ne 0),((m + 2)/(m + 1) > 0),(1/(m + 1) > 0):}\)
\(<=> {(m \ne – 1),(m + 2 > 0),(m + 1 > 0):}\)
\(<=> {(m \ne – 1),(m > – 2),(m > – 1):}\)
\(<=> m > -1\)
Vậy \(m > -1\) thì hệ phương trình đã cho có nghiệm đồng nhất thỏa mãn \(x;y > 0\)
\(***\)sharksosad
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment