Tìm GTNN: C = |2x – 4| + |2x + 5|

Chào các em học sinh lớp 7 thân mến! Hôm nay, thầy/cô sẽ hướng dẫn các em giải một bài toán rất hay và thường gặp trong chương trình Đại số lớp 7, đó là tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng tính chất quen thuộc của giá trị tuyệt đối là khoảng cách trên trục số, cụ thể là tính chất đối xứng và bất đẳng thức khoảng cách: Khoảng cách từ một điểm đến hai điểm cho trước tổng lại sẽ đạt giá trị nhỏ nhất khi điểm đó nằm trong đoạn thẳng nối hai điểm đó.

Bây giờ, chúng ta sẽ cùng nhau đi từng bước chi tiết nhé:

• Bước 1: Biến đổi biểu thức
  Biểu thức của chúng ta có chứa hai cụm số hạng là 2x trừ 4 và 2x cộng 5 bên trong dấu giá trị tuyệt đối. Để áp dụng tính chất đối xứng, chúng ta viết lại biểu thức sao cho bên trong dấu giá trị tuyệt đối thứ nhất là biểu thức đối xứng với biểu thức thứ hai. Cụ thể, ta đổi dấu biểu thức trong giá trị tuyệt đối đầu tiên: trị tuyệt đối của (2x trừ 4) thì bằng trị tuyệt đối của (4 trừ 2x) vì hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau. Khi đó, biểu thức sẽ có dạng: trị tuyệt đối của (4 trừ 2x) cộng với trị tuyệt đối của (2x cộng 5).
• Bước 2: Áp dụng bất đẳng thức cơ bản của giá trị tuyệt đối
  Ta nhớ lại bất đẳng thức: Trị tuyệt đối của A cộng với trị tuyệt đối của B luôn lớn hơn hoặc bằng trị tuyệt đối của (A cộng B). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tích của A và B lớn hơn hoặc bằng không (tức là A và B cùng dấu hoặc có ít nhất một số bằng không).
• Bước 3: Tính toán giá trị nhỏ nhất
  Áp dụng bất đẳng thức trên vào biểu thức của chúng ta, ta lấy A bằng (4 trừ 2x) và B bằng (2x cộng 5).
  Khi cộng A và B lại với nhau, ta có: (4 trừ 2x) cộng với (2x cộng 5). Các em thu gọn ẩn x (âm 2x cộng 2x bằng không), kết quả phép tính còn lại là: 4 cộng 5 bằng 9.
  Do đó, biểu thức của chúng ta sẽ luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của 9, và kết quả là lớn hơn hoặc bằng 9.
• Bước 4: Tìm điều kiện để đạt giá trị nhỏ nhất
  Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 9 khi và chỉ khi dấu bằng trong bất đẳng thức xảy ra, tức là tích của (4 trừ 2x) và (2x cộng 5) phải lớn hơn hoặc bằng không.
  Điều này xảy ra khi ẩn x nằm trong đoạn từ âm 5 phần 2 đến 2 (tức là x lớn hơn hoặc bằng âm 2,5 và nhỏ hơn hoặc bằng 2). Các em có thể thử thay một giá trị bất kỳ trong khoảng này vào biểu thức ban đầu, ví dụ chọn x bằng 0, ta sẽ thấy kết quả tính ra đúng bằng 9.

Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức cần tìm là 9, đạt được khi x nằm trong đoạn từ âm 5 phần 2 đến 2.

Hy vọng qua lời giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ bản chất và biết cách làm dạng toán tìm giá trị nhỏ nhất chứa giá trị tuyệt đối. Chúc các em học tốt và đạt điểm cao trong môn Toán!