Cho Tam giác ABC, 1 điểm M đi chuyển trên cạnh BC ( M khác B và C )…

Chào các em học sinh lớp 8 yêu quý! Hôm nay, thầy/cô sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết bài toán hình học rất hay và quen thuộc này nhé.

Hướng dẫn vẽ hình:

• Vẽ tam giác ABC bất kỳ (lưu ý vẽ tam giác rộng rãi để dễ quan sát).
• Lấy điểm M nằm trên cạnh BC (M không trùng với B và C).
• Từ M, vẽ đường thẳng song song với cạnh AC, cắt cạnh AB tại điểm I.
• Từ M, vẽ đường thẳng song song với cạnh AB, cắt cạnh AC tại điểm K.
• Nối đoạn thẳng I và K ta được đoạn IK.
• Nối đoạn thẳng A và M ta được đoạn AM.

Giải chi tiết các câu hỏi:

a, Tứ giác AKMI là hình gì? Vì sao?

Trả lời: Tứ giác AKMI là hình bình hành.

Vì sao:

• Theo giả thiết, ta có điểm I thuộc cạnh AB và điểm M thuộc cạnh BC, đường thẳng MI song song với đường thẳng AC. Do đó, đoạn thẳng MI song song với đoạn thẳng AK (vì K nằm trên AC).
• Tương tự, ta có điểm K thuộc cạnh AC và điểm M thuộc cạnh BC, đường thẳng MK song song với đường thẳng AB. Do đó, đoạn thẳng MK song song với đoạn thẳng AI (vì I nằm trên AB).
• Xét tứ giác AKMI, ta có cặp cạnh đối MI song song với AK và cặp cạnh đối MK song song với AI.
• Theo dấu hiệu nhận biết, tứ giác có các cặp cạnh đối song song với nhau là hình bình hành. Vậy AKMI là hình bình hành.

b, Tìm điều kiện của tam giác ABC để đoạn thẳng MA bằng đoạn thẳng IK

Trả lời:

• Ở câu a, chúng ta đã chứng minh được tứ giác AKMI là hình bình hành.
• Trong một hình bình hành, hai đường chéo luôn bằng nhau khi và chỉ khi hình bình hành đó là hình chữ nhật.
• Do đó, để đoạn thẳng MA bằng đoạn thẳng IK (hai đường chéo của hình bình hành AKMI) thì tứ giác AKMI phải là hình chữ nhật.
• Để tứ giác AKMI là hình chữ nhật thì góc tại đỉnh A phải là góc vuông (góc A bằng 90 độ).
• Vậy điều kiện của tam giác ABC để MA bằng IK là tam giác ABC phải là tam giác vuông tại đỉnh A.

c, Nếu tam giác ABC vuông tại A, tìm vị trí của điểm M để đoạn thẳng IK có độ dài nhỏ nhất

Trả lời:

• Theo chứng minh ở câu b, nếu tam giác ABC vuông tại A thì tứ giác AKMI là hình chữ nhật.
• Trong một hình chữ nhật, độ dài hai đường chéo bằng nhau. Do đó, độ dài đoạn thẳng IK sẽ bằng độ dài đoạn thẳng AM (IK = AM).
• Để đoạn thẳng IK có độ dài nhỏ nhất thì độ dài đoạn thẳng AM phải đạt giá trị nhỏ nhất.
• Xét tam giác vuông ABC vuông tại A, điểm M di chuyển trên cạnh huyền BC. Đoạn thẳng AM chính là đường trung tuyến hoặc đường xiên kẻ từ đỉnh A xuống cạnh huyền BC.
• Theo quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đoạn thẳng AM ngắn nhất khi nó chính là đường vuông góc hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC.
• Nói cách khác, điểm M phải là hình chiếu vuông góc của điểm A xuống cạnh BC (hay AM vuông góc với BC tại điểm M).
• Vậy vị trí của điểm M để IK có độ dài nhỏ nhất là chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh huyền BC của tam giác vuông ABC.

Các em hãy ghi chép đầy đủ vào vở và ôn tập kỹ các tính chất của hình bình hành và hình chữ nhật nhé. Chúc các em học tốt!