Cho A=x(x+1)(x-1)(x+2) a) tìm x biết A=24 b) tìm x để A đạt GTNN c)…
a) tìm x biết A=24
b) tìm x để A đạt GTNN
c) chứng minh A+1 là số chính phương
Chào các em học sinh lớp 8 yêu quý! Hôm nay, thầy/cô sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết bài toán đại số rất hay và quen thuộc này nhé.
Trước tiên, để việc giải quyết các câu a, b, c trở nên dễ dàng hơn, chúng ta cần biến đổi biểu thức ban đầu. Ta nhóm các nhân tử lại với nhau như sau:
Biểu thức ban đầu có bốn nhân tử là x, x cộng 1, x trừ 1 và x cộng 2. Ta sẽ kết hợp nhân tử thứ nhất với nhân tử thứ ba, và nhân tử thứ hai với nhân tử thứ tư:
A bằng tích của (x nhân với mở ngoặc x trừ 1 đóng ngoặc) nhân với (mở ngoặc x cộng 1 đóng ngoặc nhân với mở ngoặc x cộng 2 đóng ngoặc).
Khi nhân tung từng cặp lại, ta được:
- Cặp thứ nhất: x bình phương trừ x.
- Cặp thứ hai: x bình phương cộng 3x cộng 2.
Để xuất hiện phần chung, ta biến đổi biểu thức trong ngoặc thứ hai thành (x bình phương trừ x) cộng thêm (4x cộng 2). Tuy nhiên, cách tốt nhất là chúng ta đặt ẩn phụ. Ta nhận thấy số ở giữa của các nghiệm là trung bình cộng của âm 1, 0, 1, 2 là 0,5. Nhưng đơn giản nhất là ta đặt t bằng x bình phương cộng x.
Thầy/cô biến đổi lại cách nhóm khác tối ưu hơn cho các em dễ hiểu:
A bằng mở ngoặc x nhân với mở ngoặc x cộng 1 đóng ngoặc đóng ngoặc nhân với mở ngoặc mở ngoặc x trừ 1 đóng ngoặc nhân với mở ngoặc x cộng 2 đóng ngoặc đóng ngoặc.
A bằng (x bình phương cộng x) nhân với (x bình phương cộng x trừ 2).
Bây giờ, ta đặt ẩn phụ t bằng x bình phương cộng x. Khi đó biểu thức A trở thành:
A bằng t nhân với mở ngoặc t trừ 2 đóng ngoặc, tức là A bằng t bình phương trừ 2t.
Bây giờ, chúng ta cùng giải từng câu hỏi một cách chi tiết nhé!
Giải câu a: Tìm x biết A bằng 24
Theo đề bài, ta có phương trình:
t bình phương trừ 2t bằng 24
Chuyển vế 24 sang trái, ta được phương trình bậc hai theo t:
t bình phương trừ 2t trừ 24 bằng 0
Ta tách số hạng giữa trừ 2t thành trừ 6t cộng 4t:
t bình phương trừ 6t cộng 4t trừ 24 bằng 0
Đặt nhân tử chung:
t nhân với mở ngoặc t trừ 6 đóng ngoặc cộng 4 nhân với mở ngoặc t trừ 6 đóng ngoặc bằng 0
Mở ngoặc t cộng 4 đóng ngoặc nhân với mở ngoặc t trừ 6 đóng ngoặc bằng 0
Từ đây ta tìm được hai trường hợp cho t:
- Trường hợp 1: t cộng 4 bằng 0 suy ra t bằng âm 4.
- Trường hợp 2: t trừ 6 bằng 0 suy ra t bằng 6.
Với mỗi giá trị của t, ta tìm x dựa vào cách đặt ẩn phụ t bằng x bình phương cộng x:
- Với t bằng âm 4: x bình phương cộng x bằng âm 4 suy ra x bình phương cộng x cộng 4 bằng 0. Ta thấy biểu thức này luôn lớn hơn 0 với mọi x (vì viết được thành mở ngoặc x cộng 1 phần 2 đóng ngoặc bình phương cộng 15 phần 4). Do đó, trường hợp này không có giá trị nào của x thỏa mãn.
- Với t bằng 6: x bình phương cộng x bằng 6 suy ra x bình phương cộng x trừ 6 bằng 0. Ta tách x bình phương thành cộng 3x trừ 2x, ta được mở ngoặc x cộng 3 đóng ngoặc nhân với mở ngoặc x trừ 2 đóng ngoặc bằng 0. Suy ra x bằng âm 3 hoặc x bằng 2.
Kết luận câu a: Vậy x có hai giá trị là x bằng âm 3 hoặc x bằng 2.
Giải câu b: Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất
Ta đã có biểu thức A theo ẩn phụ t là:
A bằng t bình phương trừ 2t
Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta đưa biểu thức về dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu:
A bằng mở ngoặc t bình phương trừ 2t cộng 1 đóng ngoặc trừ 1
A bằng mở ngoặc t trừ 1 đóng ngoặc bình phương trừ 1
Vì bình phương của mọi biểu thức luôn lớn hơn hoặc bằng 0, nên mở ngoặc t trừ 1 đóng ngoặc bình phương luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi t.
Do đó, A lớn hơn hoặc bằng âm 1 với mọi t.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi t trừ 1 bằng 0, tức là t bằng 1.
Với t bằng 1, ta thay lại ẩn x:
x bình phương cộng x bằng 1 suy ra x bình phương cộng x trừ 1 bằng 0.
Để giải phương trình này, ta dùng hằng đẳng thức:
mở ngoặc x cộng 1 phần 2 đóng ngoặc bình phương trừ 5 phần 4 bằng 0
mở ngoặc x cộng 1 phần 2 đóng ngoặc bình phương bằng 5 phần 4
Từ đây suy ra x cộng 1 phần 2 bằng cộng hoặc trừ căn bậc hai của 5 phần 2.
Vậy x bằng âm 1 cộng hoặc trừ căn 5 tất cả chia cho 2.
Kết luận câu b: Giá trị nhỏ nhất của A bằng âm 1, đạt được khi x bằng âm 1 cộng hoặc trừ căn 5 tất cả chia cho 2.
Giải câu c: Chứng minh A cộng 1 là số chính phương
Từ kết quả ở câu b, ta đã biến đổi biểu thức A thành dạng:
A bằng mở ngoặc t trừ 1 đóng ngoặc bình phương trừ 1
Khi đó, xét biểu thức A cộng 1, ta có:
A cộng 1 bằng mở ngoặc mở ngoặc t trừ 1 đóng ngoặc bình phương trừ 1 đóng ngoặc cộng 1
A cộng 1 bằng mở ngoặc t trừ 1 đóng ngoặc bình phương
Mặt khác, ta thay t bằng x bình phương cộng x trở lại, ta được:
A cộng 1 bằng mở ngoặc x bình phương cộng x trừ 1 đóng ngoặc bình phương
Vì x là số thực, nên x bình phương cộng x trừ 1 cũng là một số thực. Do đó, bình phương của biểu thức này chắc chắn là một số chính phương theo định nghĩa.
Kết luận câu c: Ta đã chứng minh được A cộng 1 bằng bình phương của mở ngoặc x bình phương cộng x trừ 1 đóng ngoặc, nên A cộng 1 luôn là số chính phương với mọi giá trị của x. Điều phải chứng minh.
Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ các bước làm dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử kết hợp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và chứng minh số chính phương. Chúc các em học tập thật tốt!
Đáp án+Giải thích các bước giải:
\(a)A=24\)
\(x.(x+1).(x-1).(x+2)=24\)
\([x.(x+1)].[(x-1).(x+2)]=24\)
\((x^{2}+x).(x^{2}+2x-x-2)=24\)
\((x^{2}+x).(x^{2}+x-2)=24\)
\((x^{2}+x)^{2}-2.(x^{2}+x)=24\)
\((x^{2}+x)^{2}-6.(x^{2}+x)+4.(x^{2}+x)-24=0\)
\((x^{2}+x).(x^{2}+x-6)+4.(x^{2}+x-6)=0\)
\((x^{2}+x+4).(x^{2}+x-6)=0\)
Do \(x^{2}+x+4=x^{2}+2.x. 1/2+(1/2)^{2}+4-(1/2)^{2}\)
\(=(x+1/2)^{2}+15/4>0AAx\)
Nên: \(x^{2}+x-6=0\)
\(x^{2}+3x-2x-6=0\)
\(x.(x+3)-2.(x+3)=0\)
\((x-2).(x+3)=0\)
\(x-2=0\) hoặc \(x+3=0\)
\(x=2\) hoặc \(x=-3\)
Vậy \(x\in{2;-3}\) để \(A=24\)
\(b)A=x.(x+1).(x-1).(x+2)\)
\(=[x.(x+1)].[(x-1).(x+2)]\)
\(=(x^{2}+x).(x^{2}+2x-x-2)\)
\(=(x^{2}+x).(x^{2}+x-2)\)
\(=(x^{2}+x)^{2}-2.(x^{2}+x)\)
\(=(x^{2}+x)^{2}-2.(x^{2}+x).1+1^{2}-1^{2}\)
\(=(x^{2}+x-1)^{2}-1\)
Do \((x^{2}+x-1)^{2}\ge0AAx\)
\(->(x^{2}+x-1)^{2}-1\ge-1AAx\)
\(->A\ge-1\)
\(->A_{min}=-1\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
\(x^{2}+x-1=0\)
\(x^{2}+2.x. 1/2+(1/2)^{2}-1-(1/2)^{2}=0\)
\((x+1/2)^{2}=5/4\)
\((x+1/2)^{2}=(\pm (\sqrt{5})/(2))^{2}\)
\(x+1/2=(-\sqrt{5})/(2)\) hoặc \(x+1/2=(\sqrt{5})/(2)\)
\(x=(-1-\sqrt{5})/(2)\) hoặc \(x=(-1+\sqrt{5])/(2)\)
Vậy \(A_{min}=-1\) khi \(x=(-1-\sqrt{5})/(2)\) hoặc \(x=(-1+\sqrt{5})/(2)\)
\(c)A+1\)
\(=x.(x+1).(x-1).(x+2)+1\)
\(=[x.(x+1)].[(x-1).(x+2)]+1\)
\(=(x^{2}+x).(x^{2}+2x-x-2)+1\)
\(=(x^{2}+x).(x^{2}+x-2)+1\)
\(=(x^{2}+x)^{2}-2.(x^{2}+x).1+1^{2}\)
\(=(x^{2}+x-1)^{2}\)
\(->A+1\) là số chính phương
\(->\) Điều phải chứng minh
\(a)\)
\(A = x(x+1)(x-1)(x+2) = 24\)
\([x(x+1)][(x-1)(x+2)] = (x^2+x)(x^2+x-2) = 24\)
Đặt \(m = x^2+x,\) có: \(m(m-2) = 24\)
\(m^2 – 2m – 24 = 0\)
\((m-6)(m+4) = 0\)
\(=>\) \(m = 6 \) hoặc \(m = -4.\)
\(m = 6: x^2+x = 6 → x^2+x-6 = 0 → (x-2)(x+3) = 0 → x = 2\) hoặc \(x = -3.\)
\(m = -4: x^2+x = -4 → x^2+x+4 = 0\) (vô nghiệm).
Vậy \(x = 2\) hoặc \(x = -3.\)
\(b)\)
\(A = (x^2+x)(x^2+x-2) = m(m-2) = m^2 – 2m = (m-1)^2 – 1.\)
\((m-1)^2 ≥ 0 → A ≥ -1.\)
Dấu \(“=”\) xảy ra khi \(m = 1 → x^2+x-1 = 0 → x = (-1 ± √5)/2.\)
GTNN của A là \(-1\), tại \(x = (-1 ± √5)/2.\)
\(c)\)
\(A + 1 = m(m-2) + 1 = m^2 – 2m + 1 = (m-1)^2.\)
\(m = x^2+x → m-1 = x^2+x-1.\)
Vậy \(A + 1\) là số chính phương.
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment