cho hình vuông ABCD , điểm M là trung điểm của AB . Gọi P là điểm đối…

Chào em, đừng lo lắng nhé! Thầy/cô sẽ hướng dẫn em giải chi tiết bài toán hình học này thật dễ hiểu để chiều nay em tự tin lên bảng hoặc làm bài kiểm tra nhé.

Phần a) Chứng minh tứ giác MNPC là hình thoi

Để chứng minh một tứ giác là hình thoi, cách nhanh nhất là chứng minh nó là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau, hoặc chứng minh tứ giác đó có bốn cạnh bằng nhau. Trong bài này, ta chọn cách chứng minh qua tính chất đường chéo và cạnh bên.

• Bước 1: Chứng minh tứ giác MNPC là hình bình hành.
  • Theo giả thiết, điểm P đối xứng với điểm M qua điểm B. Điều này có nghĩa là B là trung điểm của đoạn thẳng MP.
  • Điểm N đối xứng với điểm C qua điểm B. Điều này có nghĩa là B cũng là trung điểm của đoạn thẳng NC.
  • Xét tứ giác MNPC, ta thấy hai đường chéo MP và NC cắt nhau tại trung điểm B của mỗi đường. Do đó, tứ giác MNPC là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).
• Bước 2: Chứng minh MNPC là hình thoi.
  • Vì tứ giác ABCD là hình vuông nên cạnh AB vuông góc với cạnh BC tại đỉnh B. Hay nói cách khác, đường thẳng MP vuông góc với đường thẳng NC tại điểm B.
  • Hình bình hành MNPC có hai đường chéo MP và NC vuông góc với nhau tại trung điểm B của mỗi đường.
  • Vậy tứ giác MNPC là hình thoi.

Phần b) Chứng minh điểm N đối xứng với điểm D qua điểm M

Để chứng minh điểm N đối xứng với điểm D qua điểm M, ta cần chứng minh điểm M là trung điểm của đoạn thẳng DN. Tức là ba điểm D, M, N thẳng hàng và khoảng cách từ M đến D bằng khoảng cách từ M đến N.

• Bước 1: Chứng minh ba điểm D, M, N thẳng hàng.
  • Ta đã có tứ giác MNPC là hình thoi ở phần a, suy ra cạnh MN song song với cạnh PC (hay song song với cạnh BC).
  • Mặt khác, tứ giác ABCD là hình vuông nên cạnh AB vuông góc với cạnh BC. Do đó, đường thẳng MN cũng vuông góc với đường thẳng MB tại điểm M.
  • Xét đường thẳng chứa đoạn MD và đường thẳng chứa đoạn MN: Cả hai đường thẳng này đều đi qua điểm M và cùng vuông góc với đoạn AB (vì M nằm trên AB và MN vuông góc với AB). Theo tiên đề ơi-clit, qua một điểm chỉ vẽ được một đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước, nên ba điểm D, M, N phải thẳng hàng.
• Bước 2: Chứng minh độ dài đoạn MD bằng độ dài đoạn MN.
  • Xét tam giác vuông MBC vuông tại B (do ABCD là hình vuông). Theo định lý Pytago, ta có độ dài cạnh MC bình phương bằng MB bình phương cộng với BC bình phương.
  • Vì M là trung điểm của AB nên độ dài MB bằng một nửa độ dài AB. Mà trong hình vuông, AB bằng BC, nên MB cũng bằng một nửa độ dài BC.
  • Vì MNPC là hình thoi nên cạnh MN bằng cạnh MC. Từ đó ta tính được độ dài MN thông qua độ dài các cạnh của hình vuông ban đầu.
  • Tương tự, xét tam giác vuông MBD vuông tại B, ta áp dụng định lý Pytago để tính độ dài đoạn MD và thấy độ dài MD bằng đúng độ dài MN.
  • Vì ba điểm D, M, N thẳng hàng và MD bằng MN nên điểm M chính là trung điểm của đoạn thẳng DN.
• Kết luận: Điểm N đối xứng với điểm D qua điểm M (điều phải chứng minh).

Chúc em ôn tập thật tốt và có một buổi chiều đến lớp suôn sẻ, đạt điểm cao nhé!