ptr 1/ x bình + 4x + 3 + 1/x bình + 8x + 15 + 1/x bình + 12x + 35 +…
Chào em, đây là một bài toán rút gọn phân thức kết hợp với giải phương trình bậc nhất rất hay trong chương trình Toán lớp 9. Để giải quyết bài toán này một cách nhanh chóng, chúng ta cần phân tích quy luật của mẫu số ở vế trái.
Bước 1: Phân tích các mẫu số thành nhân tử
Trước hết, chúng ta biến đổi từng mẫu số của phương trình bằng cách tách hạng tử bậc nhất để đưa về dạng tích của hai nhị thức bậc nhất:
- Mẫu số thứ nhất: x bình cộng 4x cộng 3 được tách thành (x cộng 1) nhân với (x cộng 3).
- Mẫu số thứ hai: x bình cộng 8x cộng 15 được tách thành (x cộng 3) nhân với (x cộng 5).
- Mẫu số thứ ba: x bình cộng 12x cộng 35 được tách thành (x cộng 5) nhân với (x cộng 7).
- Mẫu số thứ tư: x bình cộng 16x cộng 63 được tách thành (x cộng 7) nhân với (x cộng 9).
Bước 2: Biến đổi từng phân thức thành hiệu hai phân số
Sau khi phân tích mẫu số, mỗi phân thức trong tổng sẽ có dạng đặc biệt cho phép ta tách thành hiệu của hai phân thức đơn giản hơn:
- Phân thức thứ nhất bằng 1 phần 2 nhân với mở ngoặc: 1 phần (x cộng 1) trừ đi 1 phần (x cộng 3) đóng ngoặc.
- Phân thức thứ hai bằng 1 phần 2 nhân với mở ngoặc: 1 phần (x cộng 3) trừ đi 1 phần (x cộng 5) đóng ngoặc.
- Phân thức thứ ba bằng 1 phần 2 nhân với mở ngoặc: 1 phần (x cộng 5) trừ đi 1 phần (x cộng 7) đóng ngoặc.
- Phân thức thứ tư bằng 1 phần 2 nhân với mở ngoặc: 1 phần (x cộng 7) trừ đi 1 phần (x cộng 9) đóng ngoặc.
Bước 3: Rút gọn vế trái của phương trình
Khi cộng tất cả các phân thức lại với nhau, ta đặt nhân tử chung là 1 phần 2 ra ngoài. Bên trong ngoặc, các số hạng trung gian đối nhau sẽ triệt tiêu lẫn nhau (bao gồm trừ 1 phần x cộng 3 với cộng 1 phần x cộng 3, và cứ thế tiếp tục). Biểu thức phức tạp ban đầu thu gọn lại rất đẹp như sau:
Vế trái bây giờ bằng 1 phần 2 nhân với mở ngoặc: 1 phần (x cộng 1) trừ đi 1 phần (x cộng 9) đóng ngoặc.
Bước 4: Giải phương trình thu gọn
Lúc này, phương trình của chúng ta trở thành:
1 phần 2 nhân với mở ngoặc: 1 phần (x cộng 1) trừ đi 1 phần (x cộng 9) đóng ngoặc bằng 1 phần 5.
Ta thực hiện các bước giải tiếp theo:
- Nhân cả hai vế với 2 để khử mẫu số ở ngoài ngoặc, ta được hiệu 1 phần (x cộng 1) trừ đi 1 phần (x cộng 9) bằng 2 phần 5.
- Quy đồng mẫu số chung trong ngoặc là (x cộng 1) nhân với (x cộng 9): Tử số sau khi quy đồng và thu gọn còn lại là 8.
- Phương trình trở thành: 8 phần tích (x cộng 1)(x cộng 9) bằng 2 phần 5.
- Nhân chéo ta được: 2 nhân tích (x cộng 1)(x cộng 9) bằng 8 nhân 5, tức là bằng 40.
- Rút gọn hai vế cho 2, ta có phương trình tích: (x cộng 1) nhân (x cộng 9) bằng 20.
- Nhân phá ngoặc ta được phương trình bậc hai: x bình cộng 10x cộng 9 bằng 20, tương đương với x bình cộng 10x trừ đi 11 bằng 0.
Bước 5: Tìm nghiệm và kết luận
Phương trình bậc hai vừa tìm được có tổng các hệ số bằng 0 (vì 1 cộng 10 trừ 11 bằng 0), nên ta dễ dàng nhẩm nghiệm:
- Nghiệm thứ nhất là x bằng 1.
- Nghiệm thứ hai là x bằng âm 11.
Cuối cùng, ta đối chiếu các giá trị này với điều kiện xác định của ban đầu (các mẫu số phải khác 0, tức là x khác các giá trị âm 1, âm 3, âm 5, âm 7, âm 9). Cả hai nghiệm x bằng 1 và x bằng âm 11 đều thỏa mãn điều kiện xác định.
Kết luận: Phương trình đã cho có hai nghiệm là x bằng 1 và x bằng âm 11. Chúc em học tập thật tốt nhé!
Đáp án+Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(1/(x^2+4x+3)+1/(x^2+8x+15)+1/(x^2+12x+35)+1/(x^2+16x+63)=1/5\)
ĐK:\(x\ne-1;-3;-5;-7;-9\)
\(=>1/((x+1)(x+3))+1/((x+3)(x+5))+1/((x+5)(x+7))+1/((x+7)(x+9))=1/5\)
Ta lại có:
\(1/((x+1)(x+3))=1/2(1/(x+1))-1/(x-3))\)
\(=>1/2(1/(x+1)-1/(x+9))=1/5\)
\(=>1/2 . 8/((x+1)(x+9))=1/5\)
\(=>4/((x+1)(x+9))=1/5\)
\(=>(x+1)(x+9)=20\)
\(=>x^2+10x+9=20\)
\(=>x^2+10x-11=0\)
\(=>(x-1)(x+11)=0\)
\(=>x=1\) hoặc \(x=-11\)
Vậy, \(x=1;x=-11\)
\(#DAnh\)
\(1/(x^2+4x+3) + 1/(x^2+8x+15) + 1/(x^2+12x+35) + 1/(x^2+16x+63) = 1/5\)
Đkxđ : \(x ne -1; -3; -5; -7; -9\)
\(1/((x+1)(x+3)) + 1/((x+3)(x+5)) + 1/( (x+5)(x+7)) + 1/((x+7)(x+9)) = 1/5\)
\(1/2.[1/(x+1) – 1/(x+3) + 1/(x+3) – 1/(x+5) + 1/(x+5) – 1/(x+7) + 1/(x+7) – 1/(x+9)] = 1/5\)
\(1/2. (1/(x+1) – 1/(x+9))=1/5\)
\(1/(x+1) – 1/(x+9) = 2/5\)
\((5(x+9))/(5(x+1)(x+9)) – (5(x+1))/(5(x+1)(x+9)) = (2(x+1)(x+9))/(5(x+1)(x+9))\)
\(5x+45 – 5x – 5 = 2x^2+20x+18\)
\(5x+45 – 5x – 5 – 2x^2-20x-18=0\)
\(-2x^2 -20x+22=0\)
\(-2(x+11)(x-1)=0\)
Có \(x+11=0\) hoặc \(x-1=0\)
\(x=-11\) \((tm)\) hoặc \(x=1\) \((tm)\)
Vậy \(S = {-11;1}\) .
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment