Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rất thú vị về tỉ lệ và các thửa ruộng nhé. Đây là dạng bài thường gặp, các em hãy chú ý theo dõi từng bước giải của thầy để nắm vững kiến thức nhé!

Đề bài: \(3\) thửa ruộng hình chữ nhật \(A, B, C\) có cùng diện tích. Chiều rộng các thửa ruộng \(A; B; C\) lần lượt tỉ lệ thuận với \(4; 5; 6\). Chiều dài của thửa ruộng \(A\) nhỏ hơn tổng chiều dài của thửa ruộng \(B\) và \(C\) là \(42 m\). Tính chiều dài mỗi thửa ruộng?

—– HƯỚNG DẪN GIẢI —–

Bước 1: Phân tích đề bài và đặt ẩn

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần gọi các đại lượng chưa biết bằng các chữ cái.

• Gọi chiều dài của ba thửa ruộng \(A, B, C\) lần lượt là \(l_A, l_B, l_C\) (đơn vị: mét).
• Gọi chiều rộng của ba thửa ruộng \(A, B, C\) lần lượt là \(w_A, w_B, w_C\) (đơn vị: mét).
• Gọi diện tích của ba thửa ruộng là \(S\) (đơn vị: mét vuông).

Bước 2: Biểu diễn các mối quan hệ từ đề bài

a) Về diện tích:

Theo đề bài, ba thửa ruộng có cùng diện tích, nên ta có:

\(S = l_A \cdot w_A = l_B \cdot w_B = l_C \cdot w_C\)

b) Về tỉ lệ chiều rộng:

Chiều rộng các thửa ruộng \(A, B, C\) tỉ lệ thuận với \(4; 5; 6\). Điều này có nghĩa là:

\(\frac{w_A}{4} = \frac{w_B}{5} = \frac{w_C}{6}\)

Ta có thể đặt tỉ số này bằng một hằng số \(k\) (với \(k > 0\), vì chiều rộng phải là số dương):

\(\frac{w_A}{4} = \frac{w_B}{5} = \frac{w_C}{6} = k\)

Từ đó, ta suy ra: \(w_A = 4k\), \(w_B = 5k\), \(w_C = 6k\)

c) Mối liên hệ giữa chiều dài và chiều rộng thông qua diện tích:

Vì \(S = l_A \cdot w_A = l_B \cdot w_B = l_C \cdot w_C\), chúng ta có thể thay các biểu thức của \(w_A, w_B, w_C\) vào:

\(S = l_A \cdot (4k)\)

\(S = l_B \cdot (5k)\)

\(S = l_C \cdot (6k)\)

Từ đây, ta biểu diễn chiều dài theo \(S\) và \(k\):

\(l_A = \frac{S}{4k}\)

\(l_B = \frac{S}{5k}\)

\(l_C = \frac{S}{6k}\)

Để cho dễ tính toán hơn, chúng ta có thể thấy rằng \(l_A, l_B, l_C\) tỉ lệ nghịch với \(4, 5, 6\). Nghĩa là:

\(l_A : l_B : l_C = \frac{1}{4} : \frac{1}{5} : \frac{1}{6}\)

Để đưa về tỉ lệ thuận với các số nguyên, ta tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN) của các mẫu số \(4, 5, 6\).
BCNN\((4, 5, 6) = 60\).
Nhân các phân số với \(60\):

\(\frac{1}{4} \cdot 60 = 15\)

\(\frac{1}{5} \cdot 60 = 12\)

\(\frac{1}{6} \cdot 60 = 10\)

Vậy, chiều dài của ba thửa ruộng \(A, B, C\) tỉ lệ thuận với \(15; 12; 10\).
Ta có thể viết: \(\frac{l_A}{15} = \frac{l_B}{12} = \frac{l_C}{10}\)

Đặt tỉ số này bằng một hằng số \(m\) (với \(m > 0\), vì chiều dài phải là số dương):

\(\frac{l_A}{15} = \frac{l_B}{12} = \frac{l_C}{10} = m\)

Từ đó, ta suy ra: \(l_A = 15m\), \(l_B = 12m\), \(l_C = 10m\)

d) Về mối liên hệ giữa các chiều dài:

Chiều dài của thửa ruộng \(A\) nhỏ hơn tổng chiều dài của thửa ruộng \(B\) và \(C\) là \(42 m\). Ta có phương trình:

\(l_A = (l_B + l_C) – 42\)

Bước 3: Giải phương trình để tìm giá trị của \(m\)

Thay các biểu thức của \(l_A, l_B, l_C\) theo \(m\) vào phương trình trên:

\(15m = (12m + 10m) – 42\)

\(15m = 22m – 42\)

Chuyển các số hạng chứa \(m\) sang một vế và số tự do sang vế còn lại:

\(42 = 22m – 15m\)

\(42 = 7m\)

Tìm \(m\):

\(m = \frac{42}{7}\)

\(m = 6\)

Bước 4: Tính chiều dài của mỗi thửa ruộng

Sau khi có giá trị của \(m = 6\), chúng ta thay vào các biểu thức của chiều dài:

• Chiều dài thửa ruộng \(A\): \(l_A = 15m = 15 \cdot 6 = 90\) (mét)
• Chiều dài thửa ruộng \(B\): \(l_B = 12m = 12 \cdot 6 = 72\) (mét)
• Chiều dài thửa ruộng \(C\): \(l_C = 10m = 10 \cdot 6 = 60\) (mét)

Bước 5: Kiểm tra lại kết quả (không bắt buộc nhưng rất nên làm!)

Kiểm tra điều kiện cuối cùng: Chiều dài của thửa ruộng \(A\) nhỏ hơn tổng chiều dài của thửa ruộng \(B\) và \(C\) là \(42 m\).

Tổng chiều dài của \(B\) và \(C\) là: \(l_B + l_C = 72 + 60 = 132\) (mét)

Hiệu: \((l_B + l_C) – l_A = 132 – 90 = 42\) (mét)

Kết quả này khớp với đề bài, vậy bài giải của chúng ta là đúng!

Kết luận:

Vậy, chiều dài của thửa ruộng \(A\) là \(90\) mét.
Chiều dài của thửa ruộng \(B\) là \(72\) mét.
Chiều dài của thửa ruộng \(C\) là \(60\) mét.

Các em thấy không, một bài toán tưởng chừng phức tạp nhưng khi chúng ta phân tích kỹ lưỡng từng bước, đặt ẩn hợp lý và áp dụng đúng các tính chất về tỉ lệ, đặc biệt là tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, thì sẽ giải quyết được một cách dễ dàng. Hãy luyện tập thêm để thành thạo dạng toán này nhé!