Bài 1: Chứng minh biểu thức A < 1

Cho biểu thức: \( A = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{6^2} + \frac{1}{7^2} + \frac{1}{8^2} + \frac{1}{9^2} + \frac{1}{10^2} \).

Để chứng minh \( A < 1 \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp so sánh với một tổng có dạng tương tự nhưng dễ tính toán hơn. Chúng ta biết rằng với mọi số nguyên \( n \ge 2 \), ta có bất đẳng thức sau: \( \frac{1}{n^2} < \frac{1}{n(n-1)} \).
Áp dụng bất đẳng thức này cho từng số hạng trong biểu thức A:

• \( \frac{1}{2^2} < \frac{1}{2(2-1)} = \frac{1}{2 \times 1} = \frac{1}{1 \times 2} \)
• \( \frac{1}{3^2} < \frac{1}{3(3-1)} = \frac{1}{3 \times 2} = \frac{1}{2 \times 3} \)
• \( \frac{1}{4^2} < \frac{1}{4(4-1)} = \frac{1}{4 \times 3} = \frac{1}{3 \times 4} \)
• …
• \( \frac{1}{10^2} < \frac{1}{10(10-1)} = \frac{1}{10 \times 9} = \frac{1}{9 \times 10} \)

Vậy, ta có:

\( A < \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \frac{1}{4 \times 5} + \frac{1}{5 \times 6} + \frac{1}{6 \times 7} + \frac{1}{7 \times 8} + \frac{1}{8 \times 9} + \frac{1}{9 \times 10} \)

Bây giờ, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp “sao cho mất” để tính tổng vế phải. Ta có công thức tổng quát: \( \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1} \).

Do đó:

• \( \frac{1}{1 \times 2} = \frac{1}{1} – \frac{1}{2} \)
• \( \frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} – \frac{1}{3} \)
• \( \frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} – \frac{1}{4} \)
• …
• \( \frac{1}{9 \times 10} = \frac{1}{9} – \frac{1}{10} \)

Khi cộng tất cả lại, các số hạng ở giữa sẽ triệt tiêu lẫn nhau:

\( \left( \frac{1}{1} – \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} – \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} – \frac{1}{4} \right) + \dots + \left( \frac{1}{9} – \frac{1}{10} \right) = \frac{1}{1} – \frac{1}{10} = 1 – \frac{1}{10} = \frac{9}{10} \)

Vì \( A < \frac{9}{10} \) và \( \frac{9}{10} < 1 \), nên ta có \( A < 1 \). Điều phải chứng minh.

Bài 2: So sánh tổng S với 1/2

So sánh tổng \( S = \frac{1}{5} + \frac{1}{9} + \frac{1}{10} + \frac{1}{41} + \frac{1}{42} \) với \( \frac{1}{2} \).

Chúng ta sẽ nhóm các số hạng lại để dễ dàng so sánh:

\( S = \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{10} \right) + \left( \frac{1}{9} \right) + \left( \frac{1}{41} + \frac{1}{42} \right) \)

Tính tổng từng nhóm:

• \( \frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10} \)
• \( \frac{1}{41} + \frac{1}{42} = \frac{42 + 41}{41 \times 42} = \frac{83}{1722} \). Ta thấy \( \frac{83}{1722} \) rất nhỏ. Chúng ta có thể ước lượng nó nhỏ hơn \( \frac{1}{20} \) vì \( 83 \times 20 = 1660 < 1722 \).

Thay vào biểu thức của S:

\( S = \frac{3}{10} + \frac{1}{9} + \frac{1}{41} + \frac{1}{42} \)

Chúng ta có thể so sánh từng phần với \( \frac{1}{2} \) hoặc so sánh tổng lại.

Hãy cố gắng nhóm các số hạng sao cho tổng dễ dàng so sánh với \( \frac{1}{2} \).

Ta có:

• \( \frac{1}{5} < \frac{1}{4} \)
• \( \frac{1}{9} < \frac{1}{8} \)
• \( \frac{1}{10} < \frac{1}{9} \)
• \( \frac{1}{41} < \frac{1}{40} \)
• \( \frac{1}{42} < \frac{1}{40} \)

Nhìn vào các số hạng, ta thấy một cách tiếp cận khác là:

\( S = \frac{1}{5} + \frac{1}{9} + \frac{1}{10} + \frac{1}{41} + \frac{1}{42} \)

Ta có:

• \( \frac{1}{5} + \frac{1}{10} = \frac{3}{10} \)
• \( \frac{1}{41} + \frac{1}{42} < \frac{1}{40} + \frac{1}{40} = \frac{2}{40} = \frac{1}{20} \)

Vậy, \( S < \frac{3}{10} + \frac{1}{9} + \frac{1}{20} \)

Bây giờ, ta sẽ cộng \( \frac{3}{10} + \frac{1}{9} + \frac{1}{20} \). Tìm mẫu chung là 180.

\( \frac{3 \times 18}{180} + \frac{1 \times 20}{180} + \frac{1 \times 9}{180} = \frac{54 + 20 + 9}{180} = \frac{83}{180} \)

Ta có \( S < \frac{83}{180} \). So sánh \( \frac{83}{180} \) với \( \frac{1}{2} = \frac{90}{180} \).

Vì \( \frac{83}{180} < \frac{90}{180} \), nên \( S < \frac{83}{180} < \frac{1}{2} \). Vậy \( S < \frac{1}{2} \).

Bài 3: Tìm các số nguyên x để t là số nguyên

Tìm các số nguyên \( x \) để số hữu tỉ \( t = \frac{4x-8}{x-5} \) là một số nguyên.

Để \( t \) là một số nguyên, thì \( x-5 \) phải chia hết cho \( 4x-8 \). Tuy nhiên, cách tiếp cận phổ biến hơn là biến đổi biểu thức \( t \) để phần chứa biến \( x \) được tách ra.

Ta thực hiện phép chia đa thức hoặc biến đổi như sau:

\( t = \frac{4x-8}{x-5} = \frac{4x – 20 + 12}{x-5} \)

\( t = \frac{4(x-5) + 12}{x-5} = \frac{4(x-5)}{x-5} + \frac{12}{x-5} \)

\( t = 4 + \frac{12}{x-5} \)

Để \( t \) là một số nguyên, thì \( 4 \) là số nguyên, do đó \( \frac{12}{x-5} \) phải là một số nguyên. Điều này có nghĩa là \( x-5 \) phải là ước của \( 12 \).

Các ước của \( 12 \) là: \( \{-12, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 12\} \).

Ta lập bảng để tìm giá trị của \( x \):

Vậy, các số nguyên \( x \) để \( t \) là một số nguyên là: \( \{-7, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 17\} \).

Bài 4: Tính giá trị biểu thức một cách hợp lí

Biết \( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + 8^2 + 9^2 = 285 \).

Tính một cách hợp lí giá trị của biểu thức: \( 2^2 + 4^2 + 6^2 + \dots + 16^2 + 18^2 \).

Đặt biểu thức cần tính là B:

\( B = 2^2 + 4^2 + 6^2 + \dots + 16^2 + 18^2 \)

Ta nhận thấy mỗi số hạng trong B đều là bình phương của một số chẵn. Ta có thể viết lại các số hạng này như sau:

• \( 2^2 = (2 \times 1)^2 = 2^2 \times 1^2 \)
• \( 4^2 = (2 \times 2)^2 = 2^2 \times 2^2 \)
• \( 6^2 = (2 \times 3)^2 = 2^2 \times 3^2 \)
• …
• \( 16^2 = (2 \times 8)^2 = 2^2 \times 8^2 \)
• \( 18^2 = (2 \times 9)^2 = 2^2 \times 9^2 \)

Vậy, biểu thức B có thể viết lại là:

\( B = (2^2 \times 1^2) + (2^2 \times 2^2) + (2^2 \times 3^2) + \dots + (2^2 \times 8^2) + (2^2 \times 9^2) \)

Ta có thể đặt thừa số chung \( 2^2 \) ra ngoài:

\( B = 2^2 \times (1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + 8^2 + 9^2) \)

Chúng ta đã được cho biết giá trị của tổng trong ngoặc:

\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + 8^2 + 9^2 = 285 \)

Thay giá trị này vào biểu thức của B:

\( B = 2^2 \times 285 \)

\( B = 4 \times 285 \)

Thực hiện phép nhân:

\( B = 1140 \)

Vậy, giá trị của biểu thức \( 2^2 + 4^2 + 6^2 + \dots + 16^2 + 18^2 \) là \( 1140 \).

Các em về nhà ôn tập kỹ các dạng toán này nhé. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy!