Bài toán: Một con lắc lò xo có độ cứng \(k = 100 \, \text{N/m}\) dao động điều hòa theo phương trình: \(x = 2\cos(3\pi t + \frac{\pi}{2}) \, \text{cm}\). Tính thế năng, cơ năng và động năng của vật tại li độ \(x = 1,5 \, \text{cm}\).

Phân tích bài toán:

Chúng ta được cho phương trình dao động điều hòa của con lắc lò xo và độ cứng của lò xo. Yêu cầu là tính thế năng, cơ năng và động năng tại một li độ cụ thể. Để giải bài toán này, chúng ta cần nhớ lại các công thức liên quan đến năng lượng trong dao động điều hòa.

Các công thức cần nhớ:

1. Động năng: \(W_đ = \frac{1}{2}mv^2\)
2. Thế năng: \(W_t = \frac{1}{2}kx^2\)
3. Cơ năng: \(W = W_đ + W_t = \frac{1}{2}kA^2\) (trong đó \(A\) là biên độ dao động)

Các bước giải:

Bước 1: Xác định các đại lượng trong phương trình dao động.

Phương trình dao động là: \(x = 2\cos(3\pi t + \frac{\pi}{2}) \, \text{cm}\)

Từ phương trình này, chúng ta có thể xác định:

• Biên độ dao động: \(A = 2 \, \text{cm}\). Chúng ta cần đổi đơn vị này sang mét để tính toán năng lượng cho đúng: \(A = 2 \, \text{cm} = 0,02 \, \text{m}\).
• Tần số góc: \(\omega = 3\pi \, \text{rad/s}\).
• Pha ban đầu: \(\phi = \frac{\pi}{2} \, \text{rad}\).

Bước 2: Tính cơ năng của vật.

Cơ năng của con lắc lò xo được tính bằng công thức: \(W = \frac{1}{2}kA^2\).

Chúng ta đã có \(k = 100 \, \text{N/m}\) và \(A = 0,02 \, \text{m}\).

Thay số vào công thức:

\(W = \frac{1}{2} \times 100 \times (0,02)^2\)
\(W = \frac{1}{2} \times 100 \times 0,0004\)
\(W = 50 \times 0,0004\)
\(W = 0,02 \, \text{J}\)

Vậy, cơ năng của vật là \(0,02 \, \text{J}\).

Bước 3: Tính thế năng của vật tại li độ \(x = 1,5 \, \text{cm}\).

Thế năng được tính bằng công thức: \(W_t = \frac{1}{2}kx^2\).

Li độ đã cho là \(x = 1,5 \, \text{cm}\). Chúng ta cần đổi đơn vị này sang mét: \(x = 1,5 \, \text{cm} = 0,015 \, \text{m}\).

Thay số vào công thức:

\(W_t = \frac{1}{2} \times 100 \times (0,015)^2\)
\(W_t = \frac{1}{2} \times 100 \times 0,000225\)
\(W_t = 50 \times 0,000225\)
\(W_t = 0,01125 \, \text{J}\)

Vậy, thế năng của vật tại li độ \(x = 1,5 \, \text{cm}\) là \(0,01125 \, \text{J}\).

Bước 4: Tính động năng của vật tại li độ \(x = 1,5 \, \text{cm}\).

Chúng ta biết rằng cơ năng bằng tổng động năng và thế năng: \(W = W_đ + W_t\).

Từ đó, ta có thể tính động năng: \(W_đ = W – W_t\).

Chúng ta đã tính được \(W = 0,02 \, \text{J}\) và \(W_t = 0,01125 \, \text{J}\).

Thay số vào công thức:

\(W_đ = 0,02 – 0,01125\)
\(W_đ = 0,00875 \, \text{J}\)

Vậy, động năng của vật tại li độ \(x = 1,5 \, \text{cm}\) là \(0,00875 \, \text{J}\).

Kết luận:

Tại li độ \(x = 1,5 \, \text{cm}\):

• Thế năng của vật là: \(W_t = 0,01125 \, \text{J}\).
• Cơ năng của vật là: \(W = 0,02 \, \text{J}\).
• Động năng của vật là: \(W_đ = 0,00875 \, \text{J}\).

Các em thấy đó, với các công thức cơ bản và sự cẩn thận trong việc đổi đơn vị, chúng ta hoàn toàn có thể giải quyết dạng bài tập này. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, các em đừng ngần ngại hỏi nhé!