Chào các em học sinh lớp 10!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về tổng hợp và phân tích lực. Đây là một dạng bài rất thú vị và đòi hỏi sự vận dụng linh hoạt các công thức đã học.

Đề bài: Một lực có độ lớn 12N được phân tích thành 2 lực \(F_1\) và \(F_2\). Biết góc giữa \(F_1\) và \(F_2\) là \(150^\circ\), và \(F_2\) có giá trị lớn nhất. Hãy tìm độ lớn mỗi lực.

Chúng ta cùng phân tích bài toán nhé:

1. Tóm tắt các đại lượng đã biết và cần tìm:

• Độ lớn của lực tổng hợp (hay lực được phân tích): \(F = 12 \, N\)
• Góc giữa hai lực thành phần \(F_1\) và \(F_2\): \(\alpha = (\vec{F_1}, \vec{F_2}) = 150^\circ\)
• Điều kiện đặc biệt: \(F_2\) đạt giá trị lớn nhất (\(F_2 = F_{2,max}\))
• Cần tìm: Độ lớn của \(F_1\) và \(F_2\).

2. Áp dụng công thức tổng hợp lực (Định luật hình bình hành):

Khi một lực \(F\) được phân tích thành hai lực thành phần \(F_1\) và \(F_2\), điều đó có nghĩa là nếu ta tổng hợp hai lực \(F_1\) và \(F_2\), ta sẽ được lực \(F\). Công thức tính độ lớn của lực tổng hợp \(F\) từ hai lực thành phần \(F_1\) và \(F_2\) hợp với nhau một góc \(\alpha\) là:

\(F^2 = F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos \alpha\)

Thay các giá trị đã biết vào công thức:

\(12^2 = F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos 150^\circ\)

Chúng ta biết rằng \(\cos 150^\circ = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}\).
Thay vào phương trình:

\(144 = F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\)

\(144 = F_1^2 + F_2^2 – \sqrt{3}F_1F_2\) (Phương trình 1)

3. Sử dụng điều kiện \(F_2\) đạt giá trị lớn nhất:

Đây là điểm mấu chốt của bài toán. Để \(F_2\) đạt giá trị lớn nhất, ta sẽ biến đổi Phương trình 1 thành một phương trình bậc hai theo \(F_1\). Coi \(F_2\) là một hằng số:

\(F_1^2 – (\sqrt{3}F_2)F_1 + (F_2^2 – 144) = 0\)

Để \(F_1\) có nghiệm thực (nghĩa là có tồn tại lực \(F_1\)), delta (\(\Delta\)) của phương trình bậc hai này phải lớn hơn hoặc bằng 0 (\(\Delta \ge 0\)).

Công thức tính delta: \(\Delta = b^2 – 4ac\)
Trong đó: \(a = 1\), \(b = -\sqrt{3}F_2\), \(c = F_2^2 – 144\)

\(\Delta = (-\sqrt{3}F_2)^2 – 4(1)(F_2^2 – 144)\)

\(\Delta = 3F_2^2 – 4F_2^2 + 576\)

\(\Delta = -F_2^2 + 576\)

Điều kiện để có nghiệm thực cho \(F_1\):

\(-F_2^2 + 576 \ge 0\)

\(576 \ge F_2^2\)

\(F_2^2 \le 576\)

\(F_2 \le \sqrt{576}\)

\(F_2 \le 24 \, N\)

Từ kết quả này, chúng ta thấy rằng giá trị lớn nhất mà \(F_2\) có thể đạt được là \(24 \, N\).

Vậy, khi \(F_2\) đạt giá trị lớn nhất, ta có \(F_2 = 24 \, N\).

4. Tìm độ lớn của \(F_1\) khi \(F_2\) đạt giá trị lớn nhất:

Khi \(F_2\) đạt giá trị lớn nhất, điều này tương ứng với trường hợp \(\Delta = 0\).
Khi \(\Delta = 0\), phương trình bậc hai có nghiệm kép (duy nhất):

\(F_1 = -\frac{b}{2a}\)

\(F_1 = -\frac{-\sqrt{3}F_2}{2(1)}\)

\(F_1 = \frac{\sqrt{3}F_2}{2}\)

Thay \(F_2 = 24 \, N\) vào công thức trên:

\(F_1 = \frac{\sqrt{3} \cdot 24}{2}\)

\(F_1 = 12\sqrt{3} \, N\)

Vậy, độ lớn của lực \(F_1\) là \(12\sqrt{3} \, N\).

5. Kết luận:

Vậy, khi lực \(F\) có độ lớn \(12N\) được phân tích thành hai lực \(F_1\) và \(F_2\) mà \(F_2\) đạt giá trị lớn nhất, thì:

• Độ lớn của lực \(F_1\) là \(12\sqrt{3} \, N\).
• Độ lớn của lực \(F_2\) là \(24 \, N\).

Để dễ hình dung, \(12\sqrt{3} \approx 12 \times 1.732 \approx 20.78 \, N\).

Các em nhớ ôn tập kỹ phần tổng hợp và phân tích lực, đặc biệt là cách xử lý các điều kiện cực trị như “giá trị lớn nhất” hay “giá trị nhỏ nhất” nhé!