Chào các em học sinh thân mến,

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về công việc chung và riêng rất thú vị nhé. Đây là dạng bài thường gặp trong các kì thi, và việc lập bảng sẽ giúp chúng ta dễ dàng hình dung và thiết lập các phương trình hơn.

Đề bài: Một máy cày làm việc trên một cánh đồng. Nếu cả hai máy cùng cày thì 10 ngày xong công việc. Nhưng thực tế máy chỉ cùng làm việc được 7 ngày đầu, sau đó máy thứ nhất đi cày nơi khác, máy thứ hai một mình cày nốt trong 9 ngày nữa thì xong. Hỏi mỗi máy cày một mình thì trong bao lâu cày xong cánh đồng?

Chúng ta cùng bắt đầu giải bài toán này theo các bước sau:

Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện

Gọi thời gian máy cày thứ nhất làm một mình xong công việc là \(x\) (ngày).

Gọi thời gian máy cày thứ hai làm một mình xong công việc là \(y\) (ngày).

Điều kiện: \(x > 0\), \(y > 0\).

Bước 2: Lập bảng biểu diễn năng suất và thời gian làm việc

Để dễ dàng hình dung, chúng ta sẽ lập bảng năng suất và thời gian như sau:

Từ bảng trên, chúng ta có thể thiết lập phương trình đầu tiên dựa vào thông tin “Nếu cả hai máy cùng cày thì 10 ngày xong công việc”:

Năng suất của máy 1 cộng với năng suất của máy 2 chính là năng suất chung của cả hai máy.

\( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{10} \) (Phương trình 1)

Bây giờ chúng ta xét đến tình huống thực tế:

Bước 3: Thiết lập hệ phương trình

Dựa vào bảng trên và thông tin thực tế, tổng công việc hoàn thành là 1 (toàn bộ cánh đồng), ta có phương trình thứ hai:

\( 7 \times \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) + 9 \times \frac{1}{y} = 1 \)

Khai triển và rút gọn phương trình này:

\( \frac{7}{x} + \frac{7}{y} + \frac{9}{y} = 1 \)

\( \frac{7}{x} + \frac{16}{y} = 1 \) (Phương trình 2)

Vậy, chúng ta có hệ phương trình:

\( \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{10} & (1) \\ \frac{7}{x} + \frac{16}{y} = 1 & (2) \end{cases} \)

Bước 4: Giải hệ phương trình

Để giải hệ này, chúng ta có thể đặt ẩn phụ:

Đặt \(a = \frac{1}{x}\) và \(b = \frac{1}{y}\) (với \(a > 0\), \(b > 0\)).

Hệ phương trình trở thành:

\( \begin{cases} a + b = \frac{1}{10} & (1′) \\ 7a + 16b = 1 & (2′) \end{cases} \)

Từ phương trình (1′), ta suy ra \(a = \frac{1}{10} – b\).

Thay \(a\) vào phương trình (2′):

\( 7 \left( \frac{1}{10} – b \right) + 16b = 1 \)

\( \frac{7}{10} – 7b + 16b = 1 \)

\( \frac{7}{10} + 9b = 1 \)

\( 9b = 1 – \frac{7}{10} \)

\( 9b = \frac{10 – 7}{10} \)

\( 9b = \frac{3}{10} \)

\( b = \frac{3}{10 \times 9} \)

\( b = \frac{3}{90} \)

\( b = \frac{1}{30} \)

Bây giờ, thay \(b = \frac{1}{30}\) vào biểu thức của \(a\):

\( a = \frac{1}{10} – b \)

\( a = \frac{1}{10} – \frac{1}{30} \)

\( a = \frac{3}{30} – \frac{1}{30} \)

\( a = \frac{2}{30} \)

\( a = \frac{1}{15} \)

Quay trở lại các ẩn \(x\) và \(y\):

\( \frac{1}{x} = a \Rightarrow \frac{1}{x} = \frac{1}{15} \Rightarrow x = 15 \) (Thỏa mãn điều kiện \(x > 0\))

\( \frac{1}{y} = b \Rightarrow \frac{1}{y} = \frac{1}{30} \Rightarrow y = 30 \) (Thỏa mãn điều kiện \(y > 0\))

Bước 5: Kết luận

Vậy, máy cày thứ nhất làm một mình thì hết 15 ngày sẽ xong công việc.

Máy cày thứ hai làm một mình thì hết 30 ngày sẽ xong công việc.

Hy vọng qua cách trình bày chi tiết và sử dụng bảng này, các em sẽ hiểu rõ hơn về cách giải dạng toán công việc chung và riêng nhé!