Đề bài: Một bệnh nhân được điều trị bằng đồng vị phóng xạ phát ra tia gamma để tiêu diệt tế bào bệnh. Thời gian chiếu xạ lần đầu là \( \Delta t_1 = 8 \) phút. Cứ sau 5 tuần bệnh nhân lại phải tiếp tục xạ trị với cùng một lượng tia gamma. Cho biết chu kỳ bán rã của chất phóng xạ là \( T = 60 \) ngày và nguồn đồng vị vẫn là nguồn đã sử dụng từ đầu. Thời gian xạ trị lần 4 bằng bao nhiêu phút?

Phân tích bài toán và định hướng giải quyết:

Bài toán này liên quan đến sự phân rã phóng xạ và liều lượng xạ trị. Điều quan trọng nhất cần nắm vững là cụm từ “cùng một lượng tia gamma”. Điều này có nghĩa là tổng năng lượng hay tổng số hạt gamma mà bệnh nhân nhận được trong mỗi lần xạ trị là như nhau. Tuy nhiên, hoạt độ phóng xạ của nguồn giảm dần theo thời gian (do phân rã), nên để đạt được cùng một lượng tia gamma, thời gian chiếu xạ phải tăng lên.

Ta có công thức liên hệ giữa hoạt độ phóng xạ \( H \) (hoặc \( A \)) và thời gian chiếu xạ \( \Delta t \):

\( \text{Lượng tia gamma} \propto H \times \Delta t \)

Vì “lượng tia gamma” là không đổi cho mỗi lần xạ trị, ta có:

\( H_1 \times \Delta t_1 = H_2 \times \Delta t_2 = H_3 \times \Delta t_3 = H_4 \times \Delta t_4 = \text{hằng số} \)

Trong đó, \( H_n \) là hoạt độ phóng xạ của nguồn tại thời điểm xạ trị lần thứ \( n \), và \( \Delta t_n \) là thời gian chiếu xạ lần thứ \( n \).

Các bước giải chi tiết:

Bước 1: Chuyển đổi đơn vị thời gian về cùng một hệ thống.

Chu kỳ bán rã \( T \) được cho bằng ngày, và khoảng cách giữa các lần xạ trị được cho bằng tuần. Ta nên chuyển tất cả về đơn vị ngày để thuận tiện cho việc tính toán.

Chu kỳ bán rã: \( T = 60 \) ngày.

Khoảng thời gian giữa hai lần xạ trị liên tiếp: \( \text{5 tuần} = 5 \times 7 = 35 \) ngày.

Bước 2: Xác định thời điểm diễn ra các lần xạ trị.

Gọi \( t=0 \) là thời điểm diễn ra lần xạ trị đầu tiên (lần 1).

• Lần xạ trị 1: \( t_1 = 0 \) ngày. Thời gian chiếu xạ \( \Delta t_1 = 8 \) phút.
• Lần xạ trị 2: \( t_2 = 5 \) tuần \( = 35 \) ngày.
• Lần xạ trị 3: \( t_3 = 2 \times 5 \) tuần \( = 10 \) tuần \( = 70 \) ngày.
• Lần xạ trị 4: \( t_4 = 3 \times 5 \) tuần \( = 15 \) tuần \( = 105 \) ngày.

Bước 3: Thiết lập mối quan hệ giữa hoạt độ phóng xạ và thời gian chiếu xạ.

Theo định luật phân rã phóng xạ, hoạt độ phóng xạ \( H \) của nguồn tại thời điểm \( t \) được xác định bởi công thức:

\( H(t) = H_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}} \)

Trong đó \( H_0 \) là hoạt độ phóng xạ ban đầu của nguồn (tại thời điểm \( t=0 \)).

Ta có mối quan hệ giữa lần xạ trị đầu tiên và lần xạ trị thứ 4:

\( H_1 \times \Delta t_1 = H_4 \times \Delta t_4 \)

Hoạt độ phóng xạ \( H_1 \) tại thời điểm lần đầu xạ trị (khi \( t=0 \)) chính là \( H_0 \).

\( H_1 = H_0 \)

Hoạt độ phóng xạ \( H_4 \) tại thời điểm lần xạ trị thứ 4 (khi \( t = t_4 = 105 \) ngày) là:

\( H_4 = H_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t_4}{T}} \)

\( H_4 = H_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{105}{60}} \)

Thay các giá trị \( H_1 \) và \( H_4 \) vào phương trình mối quan hệ:

\( H_0 \times \Delta t_1 = \left(H_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{105}{60}}\right) \times \Delta t_4 \)

Ta có thể rút gọn \( H_0 \) ở cả hai vế (vì \( H_0 \neq 0 \)):

\( \Delta t_1 = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{105}{60}} \times \Delta t_4 \)

Từ đây, ta có thể tìm \( \Delta t_4 \):

\( \Delta t_4 = \Delta t_1 \div \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{105}{60}} \)

\( \Delta t_4 = \Delta t_1 \times \left(2\right)^{\frac{105}{60}} \)

Bước 4: Thực hiện tính toán.

Thay các giá trị đã biết vào công thức:

\( \Delta t_1 = 8 \) phút

\( T = 60 \) ngày

\( t_4 = 105 \) ngày

Tính tỷ số \( \frac{t_4}{T} \):

\( \frac{105}{60} = \frac{21}{12} = \frac{7}{4} = 1.75 \)

Vậy, thời gian xạ trị lần 4 là:

\( \Delta t_4 = 8 \times (2)^{1.75} \)

Sử dụng máy tính để tính \( 2^{1.75} \):

\( 2^{1.75} \approx 3.363585 \)

Cuối cùng:

\( \Delta t_4 = 8 \times 3.363585 \)

\( \Delta t_4 \approx 26.90868 \) phút

Làm tròn đến hai chữ số thập phân:

\( \Delta t_4 \approx 26.91 \) phút

Kết luận:

Vậy, thời gian xạ trị lần 4 mà bệnh nhân cần phải chịu đựng là khoảng 26.91 phút để nhận được cùng một lượng tia gamma như lần đầu.

Các em thấy không, mặc dù nguồn phóng xạ giảm hoạt độ, nhưng để đảm bảo hiệu quả điều trị, thời gian chiếu xạ phải được điều chỉnh tăng lên. Đây là một ví dụ tuyệt vời về ứng dụng Vật lý trong y học!