Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết hai bài tập về chuyển động tương đối. Đây là một dạng bài rất thú vị và đòi hỏi chúng ta phải hiểu rõ về phép cộng, trừ vector vận tốc. Thầy sẽ hướng dẫn các em một cách chi tiết nhất.

Bài 1: Thiết bị bay cá nhân

Tóm tắt đề bài:

• Vận tốc gió so với đất: \( \vec{v_g} \) có độ lớn \( v_g = 27 \text{ km/h} \), hướng Bắc.
• Hướng bay AB: Lệch 60° so với hướng Bắc về phía Đông.

a) Để bay theo đúng hướng từ A đến B, với vận tốc tổng hợp là 54 km/h, người lái phải hướng thiết bị theo hướng nào?

Phân tích và Giải:

Chúng ta có công thức cộng vận tốc trong trường hợp này là:

\( \vec{v} = \vec{v_{dt}} + \vec{v_g} \)

Trong đó:

• \( \vec{v} \): vận tốc của thiết bị so với mặt đất (vận tốc tổng hợp). Theo đề bài, \( |\vec{v}| = 54 \text{ km/h} \), hướng 60° Đông so với Bắc.
• \( \vec{v_{dt}} \): vận tốc của thiết bị so với không khí (hay vận tốc của thiết bị khi không có gió, đây chính là hướng người lái phải điều khiển thiết bị). Chúng ta cần tìm hướng và độ lớn của vector này.
• \( \vec{v_g} \): vận tốc của gió so với mặt đất. Theo đề bài, \( |\vec{v_g}| = 27 \text{ km/h} \), hướng Bắc.

Từ công thức trên, chúng ta có thể suy ra vận tốc của thiết bị so với không khí là:

\( \vec{v_{dt}} = \vec{v} – \vec{v_g} \)

Để giải bài toán này một cách chính xác, chúng ta nên sử dụng phương pháp tọa độ. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho trục Oy trùng với hướng Bắc (chiều dương hướng Bắc), và trục Ox trùng với hướng Đông (chiều dương hướng Đông).

Các vector vận tốc trong hệ tọa độ này:

1. Vận tốc của gió \( \vec{v_g} \):
   • Hướng Bắc, độ lớn \( v_g = 27 \text{ km/h} \).
   • Trong hệ tọa độ Oxy: \( \vec{v_g} = (0, 27) \) km/h.
2. Vận tốc tổng hợp \( \vec{v} \):
   • Hướng 60° Đông so với Bắc, độ lớn \( v = 54 \text{ km/h} \).
   • Để tìm các thành phần, ta chiếu vector \( \vec{v} \) lên trục Ox và Oy.
   • Thành phần theo trục Ox (hướng Đông): \( v_x = v \cdot \sin(60^\circ) = 54 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 27\sqrt{3} \text{ km/h} \).
   • Thành phần theo trục Oy (hướng Bắc): \( v_y = v \cdot \cos(60^\circ) = 54 \cdot \frac{1}{2} = 27 \text{ km/h} \).
   • Trong hệ tọa độ Oxy: \( \vec{v} = (27\sqrt{3}, 27) \) km/h.
3. Vận tốc của thiết bị so với không khí \( \vec{v_{dt}} \):
   • Ta tính theo công thức \( \vec{v_{dt}} = \vec{v} – \vec{v_g} \).
   • \( \vec{v_{dt}} = (27\sqrt{3}, 27) – (0, 27) \)
   • \( \vec{v_{dt}} = (27\sqrt{3} – 0, 27 – 27) \)
   • \( \vec{v_{dt}} = (27\sqrt{3}, 0) \) km/h.

Kết luận:

Vector \( \vec{v_{dt}} = (27\sqrt{3}, 0) \) có nghĩa là thành phần vận tốc theo trục Oy (hướng Bắc) bằng 0, và thành phần vận tốc theo trục Ox (hướng Đông) là \( 27\sqrt{3} \). Điều này cho thấy vận tốc của thiết bị so với không khí hoàn toàn nằm trên trục Ox.

Vậy, người lái phải hướng thiết bị theo hướng Đông.

Độ lớn vận tốc của thiết bị so với không khí là \( |\vec{v_{dt}}| = \sqrt{(27\sqrt{3})^2 + 0^2} = 27\sqrt{3} \approx 46.77 \text{ km/h} \).

b) Bay được 6 km, thiết bị quay đầu bay về A với vận tốc tổng hợp có độ lớn là 45 km/h đúng hướng B đến A. Tìm tốc độ trung bình của thiết bị trên cả quãng đường bay.

Phân tích và Giải:

Tốc độ trung bình trên cả quãng đường bay được tính bằng tổng quãng đường chia cho tổng thời gian di chuyển.

\( \text{Tốc độ trung bình} = \frac{\text{Tổng quãng đường}}{\text{Tổng thời gian}} \)

1. Quãng đường bay:
   • Quãng đường từ A đến B: \( S_{AB} = 6 \text{ km} \).
   • Quãng đường từ B về A: \( S_{BA} = 6 \text{ km} \).
   • Tổng quãng đường: \( S_{total} = S_{AB} + S_{BA} = 6 + 6 = 12 \text{ km} \).
2. Thời gian bay:
   • Thời gian từ A đến B (\( t_{AB} \)):
     • Vận tốc tổng hợp khi đi từ A đến B là \( v_{AB} = 54 \text{ km/h} \).
     • \( t_{AB} = \frac{S_{AB}}{v_{AB}} = \frac{6 \text{ km}}{54 \text{ km/h}} = \frac{1}{9} \text{ giờ} \).
   • Thời gian từ B về A (\( t_{BA} \)):
     • Vận tốc tổng hợp khi đi từ B về A là \( v_{BA} = 45 \text{ km/h} \).
     • \( t_{BA} = \frac{S_{BA}}{v_{BA}} = \frac{6 \text{ km}}{45 \text{ km/h}} = \frac{2}{15} \text{ giờ} \).
   • Tổng thời gian:
     • \( T_{total} = t_{AB} + t_{BA} = \frac{1}{9} + \frac{2}{15} \).
     • Để cộng hai phân số, ta quy đồng mẫu số (MSC = 45):
     • \( T_{total} = \frac{1 \cdot 5}{9 \cdot 5} + \frac{2 \cdot 3}{15 \cdot 3} = \frac{5}{45} + \frac{6}{45} = \frac{11}{45} \text{ giờ} \).
3. Tốc độ trung bình:
   • \( \overline{v} = \frac{S_{total}}{T_{total}} = \frac{12 \text{ km}}{11/45 \text{ giờ}} = \frac{12 \cdot 45}{11} = \frac{540}{11} \text{ km/h} \).
   • \( \overline{v} \approx 49.09 \text{ km/h} \).

Kết luận: Tốc độ trung bình của thiết bị trên cả quãng đường bay là \( \frac{540}{11} \text{ km/h} \) (khoảng 49.09 km/h).

Bài 2: Máy bay thể thao

Tóm tắt đề bài:

• Vận tốc gió so với đất: \( \vec{v_g} \) có độ lớn \( v_g = 7.5 \text{ m/s} \), hướng Bắc.
• Khi bay từ A đến B: Vận tốc tổng hợp của máy bay \( \vec{v} \) có độ lớn \( v = 15 \text{ m/s} \), hướng 60° Đông – Bắc (tức 60° Đông so với Bắc).

a) Hãy chứng minh rằng khi bay từ A đến B thì người lái phải luôn hướng máy bay về hướng Đông.

Phân tích và Giải:

Tương tự như bài 1, ta có công thức cộng vận tốc:

\( \vec{v} = \vec{v_p} + \vec{v_g} \)

Trong đó:

• \( \vec{v} \): vận tốc của máy bay so với mặt đất (vận tốc tổng hợp).
• \( \vec{v_p} \): vận tốc của máy bay so với không khí (hướng mà người lái điều khiển máy bay).
• \( \vec{v_g} \): vận tốc của gió so với mặt đất.

Chúng ta cần tìm \( \vec{v_p} = \vec{v} – \vec{v_g} \). Để chứng minh, chúng ta sẽ tính toán thành phần của \( \vec{v_p} \) và kiểm tra hướng của nó.

Sử dụng hệ trục tọa độ Oxy: trục Oy trùng với hướng Bắc (chiều dương hướng Bắc), trục Ox trùng với hướng Đông (chiều dương hướng Đông).

1. Vận tốc của gió \( \vec{v_g} \):
   • Hướng Bắc, độ lớn \( v_g = 7.5 \text{ m/s} \).
   • Trong hệ tọa độ Oxy: \( \vec{v_g} = (0, 7.5) \) m/s.
2. Vận tốc tổng hợp \( \vec{v} \) khi bay từ A đến B:
   • Hướng 60° Đông so với Bắc, độ lớn \( v = 15 \text{ m/s} \).
   • Thành phần theo trục Ox (hướng Đông): \( v_x = v \cdot \sin(60^\circ) = 15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ m/s} \).
   • Thành phần theo trục Oy (hướng Bắc): \( v_y = v \cdot \cos(60^\circ) = 15 \cdot \frac{1}{2} = 7.5 \text{ m/s} \).
   • Trong hệ tọa độ Oxy: \( \vec{v} = (15 \frac{\sqrt{3}}{2}, 7.5) \) m/s.
3. Vận tốc của máy bay so với không khí \( \vec{v_p} \):
   • Ta tính theo công thức \( \vec{v_p} = \vec{v} – \vec{v_g} \).
   • \( \vec{v_p} = (15 \frac{\sqrt{3}}{2}, 7.5) – (0, 7.5) \)
   • \( \vec{v_p} = (15 \frac{\sqrt{3}}{2} – 0, 7.5 – 7.5) \)
   • \( \vec{v_p} = (15 \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) \) m/s.

Chứng minh:

Vector \( \vec{v_p} = (15 \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) \) có thành phần theo trục Oy (hướng Bắc) bằng 0, và thành phần theo trục Ox (hướng Đông) là \( 15 \frac{\sqrt{3}}{2} \) (một giá trị dương). Điều này chứng tỏ vector \( \vec{v_p} \) chỉ có thành phần theo hướng Đông và không có thành phần theo hướng Bắc hay Nam.

Vậy, người lái phải luôn hướng máy bay về hướng Đông khi bay từ A đến B.

b) Sau khi bay 5 km từ A đến B, máy bay quay lại theo đường BA với vận tốc tổng hợp 13,5 m/s. Coi thời gian ở lại B là không đáng kể, tính tốc độ trung bình trên cả tuyến đường từ A đến B rồi trở lại A.

Phân tích và Giải:

Tương tự bài 1b, tốc độ trung bình trên cả quãng đường bay được tính bằng tổng quãng đường chia cho tổng thời gian di chuyển.

\( \text{Tốc độ trung bình} = \frac{\text{Tổng quãng đường}}{\text{Tổng thời gian}} \)

1. Quãng đường bay:
   • Quãng đường từ A đến B: \( S_{AB} = 5 \text{ km} = 5000 \text{ m} \).
   • Quãng đường từ B về A: \( S_{BA} = 5 \text{ km} = 5000 \text{ m} \).
   • Tổng quãng đường: \( S_{total} = S_{AB} + S_{BA} = 5000 + 5000 = 10000 \text{ m} \).
2. Thời gian bay:
   • Thời gian từ A đến B (\( t_{AB} \)):
     • Vận tốc tổng hợp khi đi từ A đến B là \( v_{AB} = 15 \text{ m/s} \).
     • \( t_{AB} = \frac{S_{AB}}{v_{AB}} = \frac{5000 \text{ m}}{15 \text{ m/s}} = \frac{1000}{3} \text{ giây} \).
   • Thời gian từ B về A (\( t_{BA} \)):
     • Vận tốc tổng hợp khi đi từ B về A là \( v_{BA} = 13.5 \text{ m/s} \).
     • \( t_{BA} = \frac{S_{BA}}{v_{BA}} = \frac{5000 \text{ m}}{13.5 \text{ m/s}} = \frac{5000}{\frac{27}{2}} = \frac{10000}{27} \text{ giây} \).
   • Tổng thời gian:
     • \( T_{total} = t_{AB} + t_{BA} = \frac{1000}{3} + \frac{10000}{27} \).
     • Để cộng hai phân số, ta quy đồng mẫu số (MSC = 27):
     • \( T_{total} = \frac{1000 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{10000}{27} = \frac{9000}{27} + \frac{10000}{27} = \frac{19000}{27} \text{ giây} \).
3. Tốc độ trung bình:
   • \( \overline{v} = \frac{S_{total}}{T_{total}} = \frac{10000 \text{ m}}{19000/27 \text{ giây}} = \frac{10000 \cdot 27}{19000} = \frac{10 \cdot 27}{19} = \frac{270}{19} \text{ m/s} \).
   • \( \overline{v} \approx 14.21 \text{ m/s} \).

Kết luận: Tốc độ trung bình của máy bay trên cả tuyến đường từ A đến B rồi trở lại A là \( \frac{270}{19} \text{ m/s} \) (khoảng 14.21 m/s).

Hy vọng qua hai bài tập này, các em đã hiểu rõ hơn về cách phân tích và giải các bài toán liên quan đến vận tốc tương đối bằng phương pháp vector và phương pháp tọa độ. Chú ý đọc kỹ đề bài và vẽ hình minh họa (nếu cần) để dễ hình dung hơn nhé!