Chào các em học sinh lớp 8! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau ôn tập và củng cố kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử – một kiến thức rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 8 của chúng ta.

Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi một đa thức thành một tích của các đa thức đơn giản hơn (thường là các đa thức có bậc thấp hơn hoặc là các đơn thức). Có nhiều phương pháp để thực hiện điều này, và chúng ta sẽ áp dụng các phương pháp phù hợp cho từng bài toán cụ thể.

Chúng ta cùng bắt đầu với bài tập đã cho nhé!

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) Đa thức: \(x^2 – 4x + 4\)

Phân tích:

Để ý rằng đa thức này có 3 hạng tử. Chúng ta hãy thử xem liệu nó có phải là bình phương của một hiệu hay không. Công thức bình phương của một hiệu là: \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\).

Trong đa thức đã cho:

• Hạng tử đầu tiên là \(x^2\), vậy ta có thể coi \(a = x\).
• Hạng tử cuối cùng là \(4\), mà \(4 = 2^2\), vậy ta có thể coi \(b = 2\).
• Bây giờ chúng ta kiểm tra hạng tử ở giữa: \(-4x\). Theo công thức, hạng tử ở giữa phải là \(-2ab\). Nếu \(a = x\) và \(b = 2\), thì \(-2ab = -2 \cdot x \cdot 2 = -4x\).

Chính xác! Đa thức này hoàn toàn phù hợp với dạng bình phương của một hiệu.

Lời giải:
Ta có: \(x^2 – 4x + 4 = x^2 – 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2\)
Áp dụng hằng đẳng thức “Bình phương của một hiệu” \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\), với \(a = x\) và \(b = 2\).
Vậy, \(x^2 – 4x + 4 = (x-2)^2\).

————————————————–

b) Đa thức: \(x^2 – 9\)

Phân tích:

Đa thức này chỉ có hai hạng tử, và chúng đều là các bình phương. Cụ thể, \(x^2\) là bình phương của \(x\), và \(9\) là bình phương của \(3\) (\(9 = 3^2\)). Dạng này gợi ý chúng ta sử dụng hằng đẳng thức “Hiệu hai bình phương”. Công thức là: \(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\).

Trong đa thức đã cho:

• Ta có \(a^2 = x^2\), suy ra \(a = x\).
• Ta có \(b^2 = 9\), suy ra \(b = 3\).

Lời giải:
Ta có: \(x^2 – 9 = x^2 – 3^2\)
Áp dụng hằng đẳng thức “Hiệu hai bình phương” \(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\), với \(a = x\) và \(b = 3\).
Vậy, \(x^2 – 9 = (x-3)(x+3)\).

————————————————–

c) Đa thức: \(x^2 + 5x + 6\)

Phân tích:

Đây là một đa thức bậc hai có dạng \(ax^2 + bx + c\), trong trường hợp này \(a = 1\), \(b = 5\) và \(c = 6\). Với dạng này, chúng ta thường tìm hai số nguyên \(m\) và \(n\) sao cho tích của chúng bằng \(c\) (\(m \cdot n = c\)) và tổng của chúng bằng \(b\) (\(m + n = b\)).

Trong trường hợp này, ta cần tìm hai số có tích là \(6\) và tổng là \(5\).

Các cặp số có tích bằng \(6\) là:

• \(1 \times 6 = 6\). Tổng của chúng là \(1 + 6 = 7\). (Không phải 5)
• \(2 \times 3 = 6\). Tổng của chúng là \(2 + 3 = 5\). (Đây rồi!)

Hai số đó là \(2\) và \(3\).

Lời giải:
Ta cần tìm hai số có tích bằng \(6\) và tổng bằng \(5\). Hai số đó là \(2\) và \(3\).
Khi đó, ta có thể viết lại đa thức như sau:
\(x^2 + 5x + 6 = x^2 + 2x + 3x + 6\)
Bây giờ, chúng ta nhóm các hạng tử lại và đặt nhân tử chung:
\(= (x^2 + 2x) + (3x + 6)\)
\(= x(x + 2) + 3(x + 2)\)
Tiếp tục đặt nhân tử chung \((x+2)\) ra ngoài:
\(= (x+2)(x+3)\).

Vậy, \(x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)\).

————————————————–

d) Đa thức: \(2x^2 + 4x\)

Phân tích:

Đây là một đa thức có hai hạng tử. Phương pháp đầu tiên và cơ bản nhất khi phân tích đa thức thành nhân tử là đặt nhân tử chung. Chúng ta cần tìm thừa số chung lớn nhất (ƯCLN) của các hạng tử.

Các hạng tử là \(2x^2\) và \(4x\).

• Về phần hệ số: ƯCLN của \(2\) và \(4\) là \(2\).
• Về phần biến: Hạng tử \(2x^2\) có \(x^2\), hạng tử \(4x\) có \(x\). Thừa số chung của biến là \(x\) (với số mũ thấp nhất).

Vậy, nhân tử chung lớn nhất của đa thức là \(2x\).

Lời giải:
Ta nhận thấy cả hai hạng tử \(2x^2\) và \(4x\) đều có thừa số chung là \(2x\).
Đặt \(2x\) làm nhân tử chung:
\(2x^2 + 4x = 2x(x) + 2x(2)\)
\(= 2x(x + 2)\).

Vậy, \(2x^2 + 4x = 2x(x+2)\).

————————————————–

e) Đa thức: \(x^3 – x\)

Phân tích:

Giống như đa thức ở câu d), đa thức này cũng chỉ có hai hạng tử. Chúng ta sẽ bắt đầu bằng cách tìm nhân tử chung.

Các hạng tử là \(x^3\) và \(-x\).

• Nhân tử chung của biến là \(x\) (vì \(x\) là lũy thừa thấp nhất của \(x\) có mặt trong cả hai hạng tử).

Vậy, nhân tử chung là \(x\).

Sau khi đặt nhân tử chung, chúng ta sẽ xem đa thức còn lại có thể phân tích tiếp được hay không.

Lời giải:
Đầu tiên, ta đặt nhân tử chung \(x\) ra ngoài:
\(x^3 – x = x(x^2 – 1)\)
Bây giờ, chúng ta xem xét biểu thức trong ngoặc: \((x^2 – 1)\). Đây là dạng hiệu hai bình phương, vì \(1 = 1^2\).
Áp dụng hằng đẳng thức “Hiệu hai bình phương” \(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\), với \(a = x\) và \(b = 1\).
Do đó, \(x^2 – 1 = (x-1)(x+1)\).
Thay kết quả này trở lại vào biểu thức ban đầu:
\(x^3 – x = x(x-1)(x+1)\).

Vậy, \(x^3 – x = x(x-1)(x+1)\).

————————————————–

Qua bài tập này, các em đã được ôn lại các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cơ bản như:

• Đặt nhân tử chung.
• Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ (bình phương của một hiệu, hiệu hai bình phương).
• Nhóm hạng tử và phân tích đa thức bậc hai dạng \(x^2 + bx + c\).

Hãy ghi nhớ các phương pháp này và luyện tập thật nhiều để thành thạo nhé! Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy/cô hoặc bạn bè. Chúc các em học tốt!