Bài 1: Rút gọn và tìm giá trị

Phần a. Tính giá trị của A

Ta có biểu thức: \(A = \sqrt{4.(1 + 6x + 9x^{2}) }\) với \(x = -\sqrt{2}\).

Bước 1: Nhận xét biểu thức bên trong dấu căn.
Ta thấy \(1 + 6x + 9x^2\) là một hằng đẳng thức. Cụ thể, nó có dạng \(a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2\).
Ở đây, \(a = 1\) và \(b = 3x\).
Vậy, \(1 + 6x + 9x^2 = (1 + 3x)^2\).

Bước 2: Thay vào biểu thức A.
\(A = \sqrt{4.(1 + 3x)^2}\)

Bước 3: Áp dụng quy tắc căn bậc hai của một tích và một bình phương.
Ta có \(\sqrt{a.b} = \sqrt{a} . \sqrt{b}\) và \(\sqrt{m^2} = |m|\).
\(A = \sqrt{4} . \sqrt{(1 + 3x)^2}\)
\(A = 2 . |1 + 3x|\)

Bước 4: Thay giá trị của x vào biểu thức.
Cho \(x = -\sqrt{2}\).
\(A = 2 . |1 + 3(-\sqrt{2})|\)
\(A = 2 . |1 – 3\sqrt{2}|\)

Bước 5: Xác định dấu của biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối.
Ta cần so sánh \(1\) và \(3\sqrt{2}\).
Ta có \(1^2 = 1\) và \((3\sqrt{2})^2 = 9 \times 2 = 18\).
Vì \(1 < 18\) nên \(1 < 3\sqrt{2}\). Do đó, \(1 - 3\sqrt{2} < 0\). Bước 6: Phá dấu giá trị tuyệt đối. Vì \(1 - 3\sqrt{2}\) là một số âm, nên khi phá dấu giá trị tuyệt đối, ta đổi dấu của nó. \(|1 - 3\sqrt{2}| = -(1 - 3\sqrt{2}) = -1 + 3\sqrt{2} = 3\sqrt{2} - 1\). Bước 7: Tính giá trị cuối cùng của A. \(A = 2 . (3\sqrt{2} - 1)\) \(A = 6\sqrt{2} - 2\) Vậy, giá trị của A là \(6\sqrt{2} - 2\). Phần b. Tính giá trị của B

Ta có biểu thức: \(B = \sqrt{9a^{2} (b^{2}+ 4 – 4b) }\) với \(a = -2\) và \(b = -\sqrt{3}\).

Bước 1: Nhận xét biểu thức bên trong dấu căn.
Ta thấy \(b^2 + 4 – 4b\) cũng là một hằng đẳng thức có dạng \(a^2 – 2ab + b^2 = (a-b)^2\).
Ở đây, \(a = b\) và \(b = 2\) (trong hằng đẳng thức). Nên \(b^2 – 4b + 4 = (b – 2)^2\).
Ngoài ra, \(9a^2 = (3a)^2\).

Bước 2: Thay vào biểu thức B.
\(B = \sqrt{(3a)^2 . (b – 2)^2}\)

Bước 3: Áp dụng quy tắc căn bậc hai của một tích và một bình phương.
\(B = \sqrt{(3a)^2} . \sqrt{(b – 2)^2}\)
\(B = |3a| . |b – 2|\)

Bước 4: Thay giá trị của a và b vào biểu thức.
Cho \(a = -2\) và \(b = -\sqrt{3}\).
\(B = |3(-2)| . |-\sqrt{3} – 2|\)
\(B = |-6| . |-(\sqrt{3} + 2)|\)

Bước 5: Phá dấu giá trị tuyệt đối.
\(|-6| = 6\).
Đối với \(|-\sqrt{3} – 2|\), ta thấy \(\sqrt{3} > 0\), nên \(\sqrt{3} + 2 > 0\).
Do đó, \(-\sqrt{3} – 2\) là một số âm.
\(|-\sqrt{3} – 2| = -(-\sqrt{3} – 2) = \sqrt{3} + 2\).

Bước 6: Tính giá trị cuối cùng của B.
\(B = 6 . (\sqrt{3} + 2)\)
\(B = 6\sqrt{3} + 12\)

Vậy, giá trị của B là \(6\sqrt{3} + 12\).

Bài 2: Tìm x

Phần a. \(\sqrt{16x}\) = 8

Bước 1: Tìm điều kiện xác định.
Để căn bậc hai có nghĩa, biểu thức dưới dấu căn phải không âm.
\(16x \ge 0 \implies x \ge 0\).

Bước 2: Bình phương hai vế của phương trình.
\((\sqrt{16x})^2 = 8^2\)
\(16x = 64\)

Bước 3: Giải phương trình tìm x.
\(x = \frac{64}{16}\)
\(x = 4\)

Bước 4: Kiểm tra điều kiện xác định.
\(x = 4\) thỏa mãn điều kiện \(x \ge 0\).
Vậy, \(x = 4\) là nghiệm của phương trình.

Phần b. \(\sqrt{4x}\) = \(\sqrt{5}\)

Bước 1: Tìm điều kiện xác định.
\(4x \ge 0 \implies x \ge 0\).

Bước 2: Bình phương hai vế của phương trình.
\((\sqrt{4x})^2 = (\sqrt{5})^2\)
\(4x = 5\)

Bước 3: Giải phương trình tìm x.
\(x = \frac{5}{4}\)

Bước 4: Kiểm tra điều kiện xác định.
\(x = \frac{5}{4}\) thỏa mãn điều kiện \(x \ge 0\).
Vậy, \(x = \frac{5}{4}\) là nghiệm của phương trình.

Phần c. \(\sqrt{9(x-1)}\) = 21

Bước 1: Tìm điều kiện xác định.
\(9(x-1) \ge 0 \implies x-1 \ge 0 \implies x \ge 1\).

Bước 2: Rút gọn biểu thức bên trái (nếu có thể).
Ta có \(\sqrt{9(x-1)} = \sqrt{9} . \sqrt{x-1} = 3\sqrt{x-1}\).
Vậy phương trình trở thành: \(3\sqrt{x-1} = 21\).

Bước 3: Chia cả hai vế cho 3.
\(\sqrt{x-1} = \frac{21}{3}\)
\(\sqrt{x-1} = 7\)

Bước 4: Bình phương hai vế của phương trình.
\((\sqrt{x-1})^2 = 7^2\)
\(x-1 = 49\)

Bước 5: Giải phương trình tìm x.
\(x = 49 + 1\)
\(x = 50\)

Bước 6: Kiểm tra điều kiện xác định.
\(x = 50\) thỏa mãn điều kiện \(x \ge 1\).
Vậy, \(x = 50\) là nghiệm của phương trình.

Phần d. \(\sqrt{4(1-x)^2}\) = 6

Bước 1: Tìm điều kiện xác định.
Biểu thức dưới dấu căn là \(4(1-x)^2\). Vì \((1-x)^2 \ge 0\) với mọi x, nên \(4(1-x)^2 \ge 0\) với mọi x. Do đó, phương trình này có nghĩa với mọi số thực x.

Bước 2: Rút gọn biểu thức bên trái.
Ta có \(\sqrt{4(1-x)^2} = \sqrt{4} . \sqrt{(1-x)^2}\).
\(\sqrt{4} = 2\).
\(\sqrt{(1-x)^2} = |1-x|\).
Vậy, phương trình trở thành: \(2|1-x| = 6\).

Bước 3: Chia cả hai vế cho 2.
\(|1-x| = \frac{6}{2}\)
\(|1-x| = 3\)

Bước 4: Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Phương trình \(|y| = c\) (với \(c \ge 0\)) có hai trường hợp: \(y = c\) hoặc \(y = -c\).
Trường hợp 1: \(1-x = 3\)
\(x = 1 – 3\)
\(x = -2\)

Trường hợp 2: \(1-x = -3\)
\(x = 1 – (-3)\)
\(x = 1 + 3\)
\(x = 4\)

Vậy, phương trình có hai nghiệm là \(x = -2\) và \(x = 4\).

Các em hãy xem lại các bước giải, chú ý đến điều kiện xác định và cách sử dụng hằng đẳng thức cũng như quy tắc về giá trị tuyệt đối. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé!