Chào các em học sinh thân mến,

Hôm nay, thầy/cô sẽ hướng dẫn các em giải một bài toán hình học liên quan đến tam giác vuông. Đây là dạng bài thường gặp, yêu cầu chúng ta phải khéo léo trong việc đặt ẩn và lập hệ phương trình. Các em hãy chú ý theo dõi nhé!

Đề bài: Một tam giác vuông cho trước nếu tăng cạnh góc vuông thứ nhất 1m, tăng cạnh góc vuông thứ 2 2m thì diện tích tăng 6 m². nếu giảm cả 2 cạnh góc vuông 1m thì diện tích giảm 3 m². Tính chu vi của tam giác.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Đặt ẩn và xác định các đại lượng ban đầu

Gọi độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông ban đầu lần lượt là \(a\) (mét) và \(b\) (mét).

Điều kiện: Vì độ dài cạnh phải là số dương, nên \(a > 0\) và \(b > 0\).

Diện tích của tam giác vuông ban đầu là: \(S = \frac{1}{2}ab\) (m²).

Bước 2: Lập các phương trình từ các giả thiết của bài toán

Trường hợp 1: Tăng cạnh góc vuông thứ nhất 1m, tăng cạnh góc vuông thứ hai 2m thì diện tích tăng 6 m².

Khi đó, độ dài hai cạnh góc vuông mới sẽ là: \(a’ = a+1\) (m) và \(b’ = b+2\) (m).

Diện tích mới của tam giác là: \(S_1 = \frac{1}{2}(a+1)(b+2)\) (m²).

Theo đề bài, diện tích tăng thêm 6 m², tức là \(S_1 = S + 6\). Ta có phương trình:

\(\frac{1}{2}(a+1)(b+2) = \frac{1}{2}ab + 6\)

Để đơn giản phương trình, ta nhân cả hai vế với 2:

\((a+1)(b+2) = ab + 12\)

Thực hiện phép nhân và rút gọn:

\(ab + 2a + b + 2 = ab + 12\)

Trừ cả hai vế cho \(ab\):

\(2a + b + 2 = 12\)

Chuyển hằng số sang vế phải:

\(2a + b = 10\) (1)

Trường hợp 2: Giảm cả hai cạnh góc vuông 1m thì diện tích giảm 3 m².

Khi đó, độ dài hai cạnh góc vuông mới sẽ là: \(a” = a-1\) (m) và \(b” = b-1\) (m).

Điều kiện bổ sung: Để tam giác vẫn tồn tại, các cạnh phải dương, tức là \(a-1 > 0 \Rightarrow a > 1\) và \(b-1 > 0 \Rightarrow b > 1\).

Diện tích mới của tam giác là: \(S_2 = \frac{1}{2}(a-1)(b-1)\) (m²).

Theo đề bài, diện tích giảm đi 3 m², tức là \(S_2 = S – 3\). Ta có phương trình:

\(\frac{1}{2}(a-1)(b-1) = \frac{1}{2}ab – 3\)

Nhân cả hai vế với 2:

\((a-1)(b-1) = ab – 6\)

Thực hiện phép nhân và rút gọn:

\(ab – a – b + 1 = ab – 6\)

Trừ cả hai vế cho \(ab\):

\(-a – b + 1 = -6\)

Chuyển hằng số sang vế phải:

\(-a – b = -7\)

Nhân cả hai vế với -1 để các hệ số dương:

\(a + b = 7\) (2)

Bước 3: Giải hệ phương trình

Từ hai phương trình (1) và (2), ta có hệ phương trình sau:

\(\left\{ \begin{array}{l} 2a + b = 10 \quad (1) \\ a + b = 7 \quad \quad (2) \end{array} \right.\)

Chúng ta có thể giải hệ này bằng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số. Ở đây, thầy/cô sẽ dùng phương pháp cộng đại số (trừ hai phương trình cho nhau) để tìm \(a\):

Lấy phương trình (1) trừ đi phương trình (2):

\((2a + b) – (a + b) = 10 – 7\)

\(2a + b – a – b = 3\)

\(a = 3\)

Bây giờ, thay giá trị của \(a = 3\) vào phương trình (2) để tìm \(b\):

\(3 + b = 7\)

\(b = 7 – 3\)

\(b = 4\)

Kiểm tra điều kiện:

Ta có \(a = 3\) (thỏa mãn \(a > 1\)) và \(b = 4\) (thỏa mãn \(b > 1\)). Các giá trị này đều dương và lớn hơn 1, nên chúng hợp lệ.

Bước 4: Tính độ dài cạnh huyền và chu vi của tam giác

Chúng ta đã tìm được độ dài hai cạnh góc vuông là \(a = 3\) m và \(b = 4\) m.

Gọi độ dài cạnh huyền của tam giác vuông ban đầu là \(c\).

Theo định lý Pythagore, ta có:

\(c^2 = a^2 + b^2\)

\(c^2 = 3^2 + 4^2\)

\(c^2 = 9 + 16\)

\(c^2 = 25\)

\(c = \sqrt{25}\)

\(c = 5\) (vì độ dài cạnh phải là số dương)

Vậy, độ dài ba cạnh của tam giác vuông là 3m, 4m và 5m.

Chu vi của tam giác vuông ban đầu là tổng độ dài ba cạnh:

\(CV = a + b + c\)

\(CV = 3 + 4 + 5\)

\(CV = 12\) (m)

Kết luận:

Vậy, chu vi của tam giác vuông đã cho là 12 mét.

Các em thấy đó, bài toán này tuy có vẻ phức tạp nhưng nếu chúng ta cẩn thận trong việc đặt ẩn, lập phương trình và giải hệ, thì kết quả sẽ chính xác. Hãy luyện tập thêm các dạng bài tương tự để nắm vững kiến thức nhé!