Bài toán:

1. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai:

a) \( \vec{MA} – \vec{MB} = \vec{BA} \)

b) \( \vec{MA} – \vec{MB} = \vec{AB} \)

2. Cho hình vuông ABCD có cạnh AB = a. Tính giá trị của biểu thức \( P = |3\vec{AB} + 2\vec{AD}| \).

Giải chi tiết:

Phần 1: Tìm mệnh đề sai

Để làm phần này, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc trừ vectơ. Quy tắc trừ vectơ nói rằng với hai vectơ \( \vec{u} \) và \( \vec{v} \), ta có \( \vec{u} – \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v}) \). Ngoài ra, nếu hai vectơ có chung điểm đầu là M, tức là \( \vec{MA} \) và \( \vec{MB} \), thì \( \vec{MA} – \vec{MB} \) sẽ bằng vectơ có điểm đầu là B và điểm cuối là A, tức là \( \vec{BA} \).

Xét mệnh đề a): \( \vec{MA} – \vec{MB} = \vec{BA} \)

Dựa vào quy tắc trừ vectơ có chung điểm đầu, ta có:

\( \vec{MA} – \vec{MB} = \vec{BA} \)

Vậy, mệnh đề a) là đúng.

Xét mệnh đề b): \( \vec{MA} – \vec{MB} = \vec{AB} \)

Chúng ta đã biết từ mệnh đề a) rằng \( \vec{MA} – \vec{MB} = \vec{BA} \).

Ta cũng biết rằng vectơ đối của \( \vec{BA} \) là \( \vec{AB} \), tức là \( \vec{AB} = -\vec{BA} \).

Do đó, mệnh đề b) có thể viết lại là: \( \vec{BA} = \vec{AB} \). Điều này là sai, vì \( \vec{BA} \) và \( \vec{AB} \) là hai vectơ ngược hướng và cùng độ dài (trừ trường hợp A trùng B, nhưng ở đây A và B là hai điểm khác nhau trong hình vuông).

Vậy, mệnh đề sai là mệnh đề b).

Phần 2: Tính giá trị của biểu thức

Cho hình vuông ABCD với AB = a.

Ta cần tính \( P = |3\vec{AB} + 2\vec{AD}| \).

Trong hình vuông ABCD, ta có các tính chất sau:

1. Hai vectơ kề nhau là vuông góc: \( \vec{AB} \perp \vec{AD} \).

2. Độ dài các cạnh bằng nhau: \( |\vec{AB}| = |\vec{AD}| = a \).

Đặt \( \vec{u} = 3\vec{AB} \) và \( \vec{v} = 2\vec{AD} \).

Ta cần tính \( P = |\vec{u} + \vec{v}| \).

Vì \( \vec{AB} \) và \( \vec{AD} \) là hai vectơ vuông góc, nên \( \vec{u} \) và \( \vec{v} \) cũng vuông góc với nhau.

Độ dài của \( \vec{u} \) là: \( |\vec{u}| = |3\vec{AB}| = 3|\vec{AB}| = 3a \).

Độ dài của \( \vec{v} \) là: \( |\vec{v}| = |2\vec{AD}| = 2|\vec{AD}| = 2a \).

Khi hai vectơ \( \vec{u} \) và \( \vec{v} \) vuông góc với nhau, bình phương độ dài của tổng hai vectơ bằng tổng bình phương độ dài của từng vectơ:

\( |\vec{u} + \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 \)

Thay các giá trị đã tính vào:

\( P^2 = (3a)^2 + (2a)^2 \)

\( P^2 = 9a^2 + 4a^2 \)

\( P^2 = 13a^2 \)

Để tìm \( P \), ta lấy căn bậc hai của \( P^2 \):

\( P = \sqrt{13a^2} \)

Vì \( a \) là độ dài cạnh, nên \( a > 0 \). Do đó, \( \sqrt{a^2} = a \).

\( P = a\sqrt{13} \)

Vậy, giá trị của biểu thức \( P = |3\vec{AB} + 2\vec{AD}| \) là \( a\sqrt{13} \).

Tóm lại:

1. Mệnh đề sai là b) \( \vec{MA} – \vec{MB} = \vec{AB} \).

2. Giá trị của \( P = |3\vec{AB} + 2\vec{AD}| \) là \( a\sqrt{13} \).

Các em về nhà ôn tập kỹ các quy tắc về vectơ và cách áp dụng vào các bài toán hình học nhé. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy!