Chào các em học sinh thân mến! Cô là giáo viên Toán của các em. Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một số bài tập về khai triển và rút gọn biểu thức. Các em hãy chuẩn bị giấy bút và chú ý lắng nghe nhé!

Chúng ta sẽ đi qua từng bài một.

Bài 1: \( x(1-x) + (x-1)^2 \)

Bước 1: Khai triển biểu thức đầu tiên.

Chúng ta có \( x(1-x) \). Nhân \( x \) vào từng số hạng trong ngoặc:

\( x \times 1 = x \)
\( x \times (-x) = -x^2 \)

Vậy, \( x(1-x) = x – x^2 \).

Bước 2: Khai triển biểu thức thứ hai.

Chúng ta có \( (x-1)^2 \). Đây là hằng đẳng thức bình phương của một hiệu, có dạng \( (a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \).

Ở đây, \( a=x \) và \( b=1 \).

Vậy, \( (x-1)^2 = x^2 – 2 \times x \times 1 + 1^2 = x^2 – 2x + 1 \).

Bước 3: Cộng hai biểu thức vừa khai triển.

Chúng ta có: \( (x – x^2) + (x^2 – 2x + 1) \)

Bỏ ngoặc:

\( x – x^2 + x^2 – 2x + 1 \)

Bước 4: Rút gọn bằng cách nhóm các số hạng đồng dạng.

Nhóm các số hạng chứa \( x^2 \): \( -x^2 + x^2 = 0 \)

Nhóm các số hạng chứa \( x \): \( x – 2x = -x \)

Nhóm các số hạng tự do: \( +1 \)

Vậy, kết quả của bài 1 là: \( -x + 1 \) hay \( 1 – x \).

Bài 2: \( (x-3)^2 -x^2 +10x -7 \)

Bước 1: Khai triển biểu thức đầu tiên.

Chúng ta có \( (x-3)^2 \). Đây là hằng đẳng thức bình phương của một hiệu, có dạng \( (a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \).

Ở đây, \( a=x \) và \( b=3 \).

Vậy, \( (x-3)^2 = x^2 – 2 \times x \times 3 + 3^2 = x^2 – 6x + 9 \).

Bước 2: Thay biểu thức đã khai triển vào bài toán.

Ta có: \( (x^2 – 6x + 9) – x^2 + 10x – 7 \)

Bước 3: Bỏ ngoặc và nhóm các số hạng đồng dạng.

Bỏ ngoặc: \( x^2 – 6x + 9 – x^2 + 10x – 7 \)

Nhóm các số hạng chứa \( x^2 \): \( x^2 – x^2 = 0 \)

Nhóm các số hạng chứa \( x \): \( -6x + 10x = 4x \)

Nhóm các số hạng tự do: \( +9 – 7 = +2 \)

Vậy, kết quả của bài 2 là: \( 4x + 2 \).

Bài 3: \( (x+2)^2 -(x-3)(x+1) \)

Bước 1: Khai triển biểu thức đầu tiên.

Chúng ta có \( (x+2)^2 \). Đây là hằng đẳng thức bình phương của một tổng, có dạng \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).

Ở đây, \( a=x \) và \( b=2 \).

Vậy, \( (x+2)^2 = x^2 + 2 \times x \times 2 + 2^2 = x^2 + 4x + 4 \).

Bước 2: Khai triển biểu thức thứ hai.

Chúng ta có \( (x-3)(x+1) \). Chúng ta sẽ nhân lần lượt từng số hạng của ngoặc thứ nhất với từng số hạng của ngoặc thứ hai:

\( x \times x = x^2 \)
\( x \times 1 = x \)
\( -3 \times x = -3x \)
\( -3 \times 1 = -3 \)

Cộng các kết quả lại:

\( x^2 + x – 3x – 3 \)

Rút gọn:

\( x^2 – 2x – 3 \)

Bước 3: Thay các biểu thức đã khai triển vào bài toán.

Ta có: \( (x^2 + 4x + 4) – (x^2 – 2x – 3) \)

Bước 4: Bỏ ngoặc và nhóm các số hạng đồng dạng.

Chú ý dấu trừ đứng trước ngoặc thứ hai. Khi bỏ ngoặc, chúng ta đổi dấu tất cả các số hạng bên trong:

\( x^2 + 4x + 4 – x^2 + 2x + 3 \)

Nhóm các số hạng chứa \( x^2 \): \( x^2 – x^2 = 0 \)

Nhóm các số hạng chứa \( x \): \( 4x + 2x = 6x \)

Nhóm các số hạng tự do: \( +4 + 3 = +7 \)

Vậy, kết quả của bài 3 là: \( 6x + 7 \).

Bài 4: \( (x+4)(x-2)-(x-3)^2 \)

Bước 1: Khai triển biểu thức đầu tiên.

Chúng ta có \( (x+4)(x-2) \). Nhân lần lượt từng số hạng:

\( x \times x = x^2 \)
\( x \times (-2) = -2x \)
\( 4 \times x = 4x \)
\( 4 \times (-2) = -8 \)

Cộng các kết quả lại:

\( x^2 – 2x + 4x – 8 \)

Rút gọn:

\( x^2 + 2x – 8 \)

Bước 2: Khai triển biểu thức thứ hai.

Chúng ta có \( (x-3)^2 \). Đây là hằng đẳng thức bình phương của một hiệu:

\( (x-3)^2 = x^2 – 2 \times x \times 3 + 3^2 = x^2 – 6x + 9 \).

Bước 3: Thay các biểu thức đã khai triển vào bài toán.

Ta có: \( (x^2 + 2x – 8) – (x^2 – 6x + 9) \)

Bước 4: Bỏ ngoặc và nhóm các số hạng đồng dạng.

Chú ý dấu trừ đứng trước ngoặc thứ hai. Chúng ta đổi dấu tất cả các số hạng bên trong:

\( x^2 + 2x – 8 – x^2 + 6x – 9 \)

Nhóm các số hạng chứa \( x^2 \): \( x^2 – x^2 = 0 \)

Nhóm các số hạng chứa \( x \): \( 2x + 6x = 8x \)

Nhóm các số hạng tự do: \( -8 – 9 = -17 \)

Vậy, kết quả của bài 4 là: \( 8x – 17 \).

Các em thấy đấy, việc nắm vững các hằng đẳng thức và quy tắc nhân đa thức với đa thức là rất quan trọng. Các em hãy luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để làm quen nhé! Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô.