Chào các con học sinh yêu quý của cô!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rất thú vị về phân số và dãy số nhé. Cô thấy bài toán của chúng ta có dạng như sau:

\(1/{1+2}\) + \(1/{2+3}\) + … + \(1/{9+10}\)

Khi nhìn vào bài toán này, cô thấy có thể có một chút nhầm lẫn nhỏ trong cách viết đề bài, nhưng không sao cả, cô sẽ hướng dẫn các con giải theo cách mà chúng ta thường gặp nhất trong dạng toán này, đó là khi mẫu số là tích của hai số liên tiếp. Đây là một dạng toán rất hay và có một “mẹo” giải đặc biệt đó!

Cô giả định đề bài muốn hỏi chúng ta tính tổng sau (thay dấu cộng ở mẫu thành dấu nhân, vì đây là dạng bài phổ biến ở lớp 6 để học về phương pháp khử liên tiếp):

\(1/{1 \cdot 2}\) + \(1/{2 \cdot 3}\) + \(1/{3 \cdot 4}\) + … + \(1/{9 \cdot 10}\)

Bây giờ, chúng ta sẽ bắt đầu giải bài toán này nhé!

Bước 1: Phân tích mỗi phân số thành hiệu của hai phân số đơn giản hơn.

Các con hãy nhớ công thức đặc biệt này: một phân số có dạng \(1/{n \cdot (n+1)}\) có thể viết thành hiệu của hai phân số: \(1/n – 1/{(n+1)}\).

Chúng ta cùng kiểm tra lại xem có đúng không nhé:

\(1/n – 1/{(n+1)} = {(n+1)}/{n \cdot (n+1)} – n/{n \cdot (n+1)} = {(n+1-n)}/{n \cdot (n+1)} = 1/{n \cdot (n+1)}\).
Đúng rồi!

Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng công thức này cho từng phân số trong tổng:

• Phân số thứ nhất: \(1/{1 \cdot 2}\) = \(1/1 – 1/2\)
• Phân số thứ hai: \(1/{2 \cdot 3}\) = \(1/2 – 1/3\)
• Phân số thứ ba: \(1/{3 \cdot 4}\) = \(1/3 – 1/4\)
• …
• Phân số cuối cùng: \(1/{9 \cdot 10}\) = \(1/9 – 1/10\)

Bước 2: Viết lại tổng và rút gọn.

Bây giờ, chúng ta sẽ thay thế các phân số ban đầu bằng các hiệu mà chúng ta vừa tìm được, rồi cộng tất cả lại với nhau:

\( (\frac{1}{1} – \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} – \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} – \frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{9} – \frac{1}{10}) \)

Các con có thấy điều gì đặc biệt không? Chúng ta có những phân số đối nhau nằm cạnh nhau đó!

• Có \(-1/2\) và \(+1/2\)
• Có \(-1/3\) và \(+1/3\)
• Có \(-1/4\) và \(+1/4\)
• …
• Có \(-1/9\) và \(+1/9\)

Tất cả các cặp phân số này sẽ tự triệt tiêu lẫn nhau (nghĩa là tổng của chúng bằng 0)!

Vậy, sau khi triệt tiêu, tổng của chúng ta chỉ còn lại hai phân số thôi:

\( 1/1 – 1/10 \)

Bước 3: Tính kết quả cuối cùng.

Giờ thì chúng ta chỉ cần thực hiện phép trừ đơn giản này:

\( 1/1 – 1/10 = 10/10 – 1/10 = 9/10 \)

Vậy, kết quả của tổng là \(9/10\).

—

Một Lưu Ý Quan Trọng:

Nếu đề bài của con thực sự muốn tính tổng như con đã viết ban đầu, tức là:

\(1/{1+2}\) + \(1/{2+3}\) + … + \(1/{9+10}\)
Hay là:
\(1/3 + 1/5 + 1/7 + \dots + 1/19\)

Thì đây sẽ là một bài toán rất khó và không có cách giải nhanh gọn như trên cho học sinh lớp 6 đâu nhé! Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phải quy đồng mẫu số của tất cả các phân số (3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19), điều này sẽ rất phức tạp và không phù hợp với kiến thức lớp 6.

Vì vậy, cô tin rằng đề bài của con muốn chúng ta giải theo dạng tích ở mẫu mà cô vừa hướng dẫn đó!

Các con hãy luyện tập thêm dạng toán này để thành thạo nhé. Đây là một dạng toán rất phổ biến và hay gặp trong chương trình Toán lớp 6!

Chúc các con học tốt!