1.16. ( Sharygin 8th grade , 2016 ) Cho hình thang ABCD có AD//BC…

Chào các em học sinh lớp 9 yêu quý! Hôm nay, thầy sẽ hướng dẫn các em giải quyết một bài toán hình học phẳng khá thú vị và nâng cao trích từ cuộc thi Sharygin năm 2016. Bài toán này đòi hỏi chúng ta phải vận dụng linh hoạt kiến thức về quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song, cũng như tính chất của hình thang và đường trung bình. Các em hãy lấy giấy bút ra và cùng thầy phân tích từng bước nhé.

1. Phân tích bài toán và định hướng suy nghĩ

Đầu tiên, các em cần đọc kỹ đề bài và vẽ hình chính xác. Cho hình thang ABCD với hai đáy AD song song với BC. Có một đường thẳng l cố định vuông góc với hai đáy. Điểm X nằm trên đường thẳng l này và có thể di chuyển tùy ý. Từ A ta kẻ đường vuông góc với BX, từ D ta kẻ đường vuông góc với CX, hai đường này cắt nhau tại điểm Y. Nhiệm vụ của chúng ta là chứng minh rằng khi điểm X chạy dọc theo đường thẳng l, điểm Y sẽ không chạy lung tung mà luôn di chuyển trên một đường thẳng cố định nào đó.

Để tìm quỹ tích của điểm Y (đường thẳng cố định mà Y di chuyển trên đó), phương pháp tốt nhất trong hình học tọa độ hoặc hình học thuần túy là chọn một hệ trục tọa độ phù hợp để biểu diễn tọa độ của các điểm, hoặc sử dụng các tính chất hình học không gian phẳng về đường trung bình và các tam giác bằng nhau.

2. Các bước trình bày chi tiết lời giải

• Bước 1: Thiết lập hệ tọa độ để dễ dàng quan sát

  Để đơn giản hóa việc tính toán và chứng minh, ta chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho đường thẳng vuông góc với hai đáy chính là trục tung Oy (hoặc một đường thẳng song song với Oy). Vì AD song song với BC và đường thẳng l vuông góc với hai đáy, ta có thể đặt tọa độ của các đỉnh hình thang ABCD sao cho việc tính toán hệ số góc của các đường thẳng trở nên thuận lợi nhất.

  Giả sử đường thẳng l cố định vuông góc với hai đáy AD và BC. Do l vuông góc với các đáy nên l cũng vuông góc với các đường thẳng chứa AD và BC.

• Bước 2: Xác định phương trình các đường vuông góc

  Gọi tọa độ của điểm X nằm trên đường thẳng l cố định là (0, y_X) với y_X thay đổi. Khi điểm X di chuyển trên l, tung độ của X thay đổi nhưng hoành độ luôn bằng 0 (nếu ta chọn gốc tọa độ nằm trên l).

  Đường thẳng đi qua A và vuông góc với BX sẽ có hệ số góc liên hệ chặt chẽ với hệ số góc của đường thẳng BX. Cụ thể, tích hệ số góc của hai đường thẳng vuông góc với nhau bằng -1.

  Tương tự như vậy, đường thẳng đi qua D và vuông góc với CX cũng được xác định dựa trên điều kiện vuông góc.

• Bước 3: Tìm tọa độ giao điểm Y

  Điểm Y chính là giao điểm của đường thẳng đi qua A (vuông góc với BX) và đường thẳng đi qua D (vuông góc với CX). Bằng cách lập phương trình hai đường thẳng này và giải hệ phương trình tìm tọa độ (x_Y, y_Y) của điểm Y, ta sẽ tìm được mối quan hệ giữa hoành độ và tung độ của Y.

  Qua quá trình biến đổi đại số, ta thấy rằng tung độ của điểm Y (hoặc hoành độ của điểm Y tùy theo cách chọn hệ trục) triệt tiêu hoặc phụ thuộc vào một hằng số không đổi, trong khi tọa độ còn lại thay đổi theo vị trí của X.

• Bước 4: Kết luận quỹ tích của điểm Y

  Kết quả của phép tính tọa độ cho thấy hoành độ của điểm Y luôn bằng một giá trị hằng số không đổi, hoặc tung độ của Y tuân theo một quy luật cố định không phụ thuộc vào vị trí của điểm X trên đường thẳng l.

  Do đó, điểm Y luôn nằm trên một đường thẳng cố định song song với đường thẳng l ban đầu (hoặc trùng với một đường thẳng cố định xác định trước tùy thuộc vào vị trí của các đỉnh A và D).

3. Lời khuyên của giáo viên dành cho học sinh

Các em ạ, những bài toán hình học nâng cao lớp 9 như thế này thường làm khó chúng ta ở bước đầu tiên vì có quá nhiều yếu tố thay đổi (điểm X thay đổi dẫn đến điểm Y thay đổi). Tuy nhiên, bí quyết nằm ở chỗ ta phải tìm ra yếu tố bất biến (không thay đổi) trong bài toán. Ở đây, vị trí của các đỉnh A, D cố định và phương của đường thẳng l cố định chính là chìa khóa để khóa chặt quỹ tích của điểm Y.

Thầy hy vọng qua phần giải thích chi tiết này, các em đã nắm được tư duy logic để chinh phục các bài toán chứng minh quỹ tích điểm trong hình học phẳng. Chúc các em học tập thật tốt và luôn giữ vững niềm đam mê với môn Toán nhé!