Chào em!

Thầy/Cô thấy em đang gặp khó với bài toán này đúng không? Đừng lo lắng, đây là một dạng toán khá thú vị và chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết nó nhé!

Tính tổng: \(S = 1/(2 \cdot 5) + 1/(3 \cdot 6) + 1/(4 \cdot 7) + 1/(5 \cdot 8) + \dots + 1/(101 \cdot 104) + 1/(102 \cdot 105)\)

Dạng bài này thường sử dụng kỹ thuật “phân tích thành hiệu của hai phân số” để tạo ra một “chuỗi rút gọn” hay còn gọi là tổng telescoping.
Cụ thể, đối với một phân số có dạng \(1/(n \cdot (n+k))\), ta có thể phân tích thành:

\(1/(n \cdot (n+k)) = (1/k) \cdot (1/n – 1/(n+k))\)

Trong bài toán của chúng ta, mỗi số hạng có mẫu số là tích của hai thừa số mà thừa số thứ hai lớn hơn thừa số thứ nhất 3 đơn vị (ví dụ: \(5-2=3\), \(6-3=3\), …).
Vậy, ta có \(k=3\).

Áp dụng công thức trên cho từng số hạng trong tổng S, ta có:

\(1/(n \cdot (n+3)) = (1/3) \cdot (1/n – 1/(n+3))\)

Thực hiện cho các số hạng cụ thể:

• \(1/(2 \cdot 5) = (1/3) \cdot (1/2 – 1/5)\)
• \(1/(3 \cdot 6) = (1/3) \cdot (1/3 – 1/6)\)
• \(1/(4 \cdot 7) = (1/3) \cdot (1/4 – 1/7)\)
• \(1/(5 \cdot 8) = (1/3) \cdot (1/5 – 1/8)\)
• …
• \(1/(100 \cdot 103) = (1/3) \cdot (1/100 – 1/103)\)
• \(1/(101 \cdot 104) = (1/3) \cdot (1/101 – 1/104)\)
• \(1/(102 \cdot 105) = (1/3) \cdot (1/102 – 1/105)\)

Bây giờ, ta sẽ thay các biểu thức đã phân tích vào tổng S.
Ta nhận thấy rằng mỗi số hạng đều có thừa số chung là \(1/3\), nên ta có thể đặt \(1/3\) ra ngoài dấu ngoặc:

\(S = (1/3) \cdot [ (1/2 – 1/5) + (1/3 – 1/6) + (1/4 – 1/7) + (1/5 – 1/8) + \dots + (1/100 – 1/103) + (1/101 – 1/104) + (1/102 – 1/105) ]\)

Quan sát kỹ các số hạng trong ngoặc vuông, em sẽ thấy một quy luật rút gọn rất thú vị:

• Số \(-1/5\) của số hạng thứ nhất sẽ triệt tiêu với số \(+1/5\) của số hạng thứ tư.
• Số \(-1/6\) của số hạng thứ hai sẽ triệt tiêu với số \(+1/6\) của số hạng thứ năm.
• Số \(-1/7\) của số hạng thứ ba sẽ triệt tiêu với số \(+1/7\) của số hạng thứ sáu.

Cứ như vậy, các số hạng ở giữa sẽ lần lượt triệt tiêu lẫn nhau.
Vậy, những số hạng nào sẽ còn lại?

Các số hạng dương đầu tiên không bị triệt tiêu là: \(1/2, 1/3, 1/4\). (Vì chúng không có các số hạng \(-1/2, -1/3, -1/4\) đứng trước để triệt tiêu).

Các số hạng âm cuối cùng không bị triệt tiêu là: \(-1/103, -1/104, -1/105\). (Vì chúng không có các số hạng \(+1/103, +1/104, +1/105\) đứng sau để triệt tiêu).

Do đó, tổng S sẽ trở thành một biểu thức đơn giản hơn nhiều:

\(S = (1/3) \cdot [ (1/2 + 1/3 + 1/4) – (1/103 + 1/104 + 1/105) ]\)

Trước hết, ta tính tổng ba phân số đầu tiên:

\(1/2 + 1/3 + 1/4 = 6/12 + 4/12 + 3/12 = 13/12\)

Tiếp theo, ta tính tổng ba phân số cuối cùng:

\(1/103 + 1/104 + 1/105\)

Để cộng ba phân số này, ta cần quy đồng mẫu số. Mẫu chung nhỏ nhất là tích của 103, 104 và 105.

\(103 \cdot 104 \cdot 105 = 1123560\)

Vậy:

\(1/103 = (104 \cdot 105) / 1123560 = 10920 / 1123560\)

\(1/104 = (103 \cdot 105) / 1123560 = 10815 / 1123560\)

\(1/105 = (103 \cdot 104) / 1123560 = 10712 / 1123560\)

Do đó:

\(1/103 + 1/104 + 1/105 = (10920 + 10815 + 10712) / 1123560 = 32447 / 1123560\)

Bây giờ, thay các giá trị này vào biểu thức của S:

\(S = (1/3) \cdot [ 13/12 – 32447 / 1123560 ]\)

Để thực hiện phép trừ trong ngoặc, ta cần quy đồng mẫu số.
Mẫu chung nhỏ nhất của 12 và 1123560 là 1123560 (vì \(1123560 \div 12 = 93630\)).

\(S = (1/3) \cdot [ (13 \cdot 93630) / (12 \cdot 93630) – 32447 / 1123560 ]\)

\(S = (1/3) \cdot [ 1217190 / 1123560 – 32447 / 1123560 ]\)

\(S = (1/3) \cdot [ (1217190 – 32447) / 1123560 ]\)

\(S = (1/3) \cdot [ 1184743 / 1123560 ]\)

\(S = 1184743 / (3 \cdot 1123560)\)

\(S = 1184743 / 3370680\)

Vậy, tổng của dãy số đã cho là: \(S = 1184743 / 3370680\)

Bài toán này giúp em rèn luyện kỹ năng phân tích, quan sát quy luật và tính toán cẩn thận đấy. Đây là một dạng bài rất hay thường xuất hiện trong các bài kiểm tra nâng cao.
Cố gắng lên nhé! Nếu có gì thắc mắc cứ hỏi thầy/cô!