Bài 13: Rút gọn biểu thức \(13, (x-1)^2 -2(x+3)(x-3)+4x(x-4)\).

Trước hết, chúng ta sẽ lần lượt khai triển từng phần của biểu thức:

Phần thứ nhất: Khai triển \((x-1)^2\). Đây là hằng đẳng thức bình phương của một hiệu:

\( (x-1)^2 = x^2 – 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 – 2x + 1 \)

Phần thứ hai: Khai triển \(-2(x+3)(x-3)\). Chúng ta nhận thấy \((x+3)(x-3)\) là hằng đẳng thức hiệu hai bình phương:

\( (x+3)(x-3) = x^2 – 3^2 = x^2 – 9 \)

Vậy, \(-2(x+3)(x-3) = -2(x^2 – 9) = -2x^2 + 18\)

Phần thứ ba: Khai triển \(4x(x-4)\). Chúng ta sử dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức:

\( 4x(x-4) = 4x \cdot x – 4x \cdot 4 = 4x^2 – 16x \)

Bây giờ, chúng ta sẽ ghép các kết quả lại và cộng trừ các hạng tử đồng dạng:

\( 13 + (x^2 – 2x + 1) + (-2x^2 + 18) + (4x^2 – 16x) \)

= \(13 + x^2 – 2x + 1 – 2x^2 + 18 + 4x^2 – 16x\)

Nhóm các hạng tử chứa \(x^2\), hạng tử chứa \(x\) và các hạng tử tự do:

= \( (x^2 – 2x^2 + 4x^2) + (-2x – 16x) + (13 + 1 + 18) \)

Thực hiện phép cộng, trừ:

= \( (1 – 2 + 4)x^2 + (-2 – 16)x + (32) \)

= \( 3x^2 – 18x + 32 \)

Vậy, kết quả rút gọn của biểu thức ở bài 13 là \(3x^2 – 18x + 32\).

Bài 14: Rút gọn biểu thức \((y-3)(y+3)(y^2+9) -(y^2+2)(y^2-2)\).

Tương tự, chúng ta sẽ khai triển từng phần của biểu thức:

Phần thứ nhất: \((y-3)(y+3)(y^2+9)\). Chúng ta thấy \((y-3)(y+3)\) là hiệu hai bình phương:

\( (y-3)(y+3) = y^2 – 3^2 = y^2 – 9 \)

Tiếp tục, ta có \((y^2 – 9)(y^2 + 9)\). Đây cũng là hiệu hai bình phương, với \(a = y^2\) và \(b = 9\):

\( (y^2 – 9)(y^2 + 9) = (y^2)^2 – 9^2 = y^4 – 81 \)

Phần thứ hai: \((y^2+2)(y^2-2)\). Đây là hiệu hai bình phương, với \(a = y^2\) và \(b = 2\):

\( (y^2+2)(y^2-2) = (y^2)^2 – 2^2 = y^4 – 4 \)

Bây giờ, chúng ta sẽ trừ hai kết quả này lại:

\( (y^4 – 81) – (y^4 – 4) \)

= \(y^4 – 81 – y^4 + 4\)

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

= \( (y^4 – y^4) + (-81 + 4) \)

Thực hiện phép cộng, trừ:

= \( 0 – 77 \)

= \( -77 \)

Vậy, kết quả rút gọn của biểu thức ở bài 14 là \(-77\).

Các em thấy không, khi chúng ta nắm vững các hằng đẳng thức và quy tắc nhân đơn thức với đa thức, việc rút gọn các biểu thức phức tạp sẽ trở nên dễ dàng hơn rất nhiều. Các em hãy ôn tập lại các kiến thức này để làm tốt các bài tập tương tự nhé. Nếu có thắc mắc gì, đừng ngần ngại hỏi thầy!