Bài 15: \([3/(x-3) – 2x/(9-x^2) + x/(x+3)]:2x/(x+3)\)

Đầu tiên, chúng ta cần xác định điều kiện xác định của biểu thức.
Mẫu số của các phân thức lần lượt là \(x-3\), \(9-x^2\), \(x+3\).
Ta có \(9-x^2 = (3-x)(3+x) = -(x-3)(x+3)\).
Do đó, để các phân thức có nghĩa, ta cần:
\(x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3\)
\(9-x^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3\) và \(x \neq -3\)
\(x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3\)
Ngoài ra, ta còn có phép chia cho \(2x/(x+3)\), nên \(2x/(x+3) \neq 0\), suy ra \(2x \neq 0 \Rightarrow x \neq 0\).
Vậy, điều kiện xác định của biểu thức là \(x \neq 3\), \(x \neq -3\), \(x \neq 0\).

Bây giờ, chúng ta sẽ rút gọn biểu thức trong ngoặc vuông trước.
\(3/(x-3) – 2x/(9-x^2) + x/(x+3)\)
Chúng ta quy đồng mẫu số. Mẫu số chung là \(9-x^2 = (x-3)(x+3)\) (chú ý đổi dấu \(9-x^2\) thành \(x^2-9\) hoặc giữ nguyên và xử lý dấu trừ). Cô sẽ quy đồng với mẫu \( (x-3)(x+3) \).
\(3/(x-3) = 3(x+3)/((x-3)(x+3)) = (3x+9)/(x^2-9)\)
\(2x/(9-x^2) = -2x/(x^2-9) = -2x(x+3)/((x-3)(x+3)) = (-2x^2-6x)/(x^2-9)\) (Đây là cách làm với mẫu \(x^2-9\)).
Hoặc, cô sẽ làm như sau để giữ nguyên mẫu \(9-x^2\):
\(3/(x-3) = 3(x+3)/((x-3)(x+3)) = (3x+9)/(x^2-9)\)
\(2x/(9-x^2) = 2x/(-(x^2-9)) = -2x/(x^2-9)\)
\(x/(x+3) = x(x-3)/((x+3)(x-3)) = (x^2-3x)/(x^2-9)\)
Vậy biểu thức trong ngoặc vuông là:
\((3x+9)/(x^2-9) – (-2x)/(x^2-9) + (x^2-3x)/(x^2-9)\)
= \((3x+9 + 2x + x^2-3x)/(x^2-9)\)
= \((x^2 + 2x + 9)/(x^2-9)\)

Bây giờ, chúng ta thực hiện phép chia:
\((x^2 + 2x + 9)/(x^2-9) : 2x/(x+3)\)
= \((x^2 + 2x + 9)/(x^2-9) * (x+3)/(2x)\)
Ta có \(x^2-9 = (x-3)(x+3)\). Thay vào biểu thức:
= \((x^2 + 2x + 9)/((x-3)(x+3)) * (x+3)/(2x)\)
Rút gọn \(x+3\) ở tử và mẫu:
= \((x^2 + 2x + 9)/((x-3)(2x))\)
= \((x^2 + 2x + 9)/(2x^2 – 6x)\)

Vậy kết quả của bài 15 là: \((x^2 + 2x + 9)/(2x^2 – 6x)\).

Bài 16: \([x/(x^2-4) + 3/(2-x) + 1/(x+2)]:1/(x+2)\)

Đầu tiên, tìm điều kiện xác định.
Mẫu số: \(x^2-4\), \(2-x\), \(x+2\).
Ta có \(x^2-4 = (x-2)(x+2)\) và \(2-x = -(x-2)\).
Để các phân thức có nghĩa, ta cần:
\(x^2-4 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2\) và \(x \neq -2\)
\(2-x \neq 0 \Rightarrow x \neq 2\)
\(x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2\)
Phép chia cho \(1/(x+2)\) yêu cầu \(1/(x+2) \neq 0\), điều này luôn đúng với \(x \neq -2\).
Vậy, điều kiện xác định của biểu thức là \(x \neq 2\) và \(x \neq -2\).

Rút gọn biểu thức trong ngoặc vuông:
\(x/(x^2-4) + 3/(2-x) + 1/(x+2)\)
Quy đồng mẫu số. Mẫu số chung là \(x^2-4 = (x-2)(x+2)\).
\(x/(x^2-4)\) giữ nguyên.
\(3/(2-x) = 3/(-(x-2)) = -3/(x-2) = -3(x+2)/((x-2)(x+2)) = (-3x-6)/(x^2-4)\)
\(1/(x+2) = 1(x-2)/((x+2)(x-2)) = (x-2)/(x^2-4)\)
Vậy biểu thức trong ngoặc vuông là:
\(x/(x^2-4) + (-3x-6)/(x^2-4) + (x-2)/(x^2-4)\)
= \((x – 3x – 6 + x – 2)/(x^2-4)\)
= \((-x – 8)/(x^2-4)\)

Thực hiện phép chia:
\((-x – 8)/(x^2-4) : 1/(x+2)\)
= \((-x – 8)/(x^2-4) * (x+2)/1\)
= \((-x – 8)/((x-2)(x+2)) * (x+2)\)
Rút gọn \(x+2\) ở tử và mẫu:
= \((-x – 8)/(x-2)\)
Ta có thể viết lại là:
= \(-(x+8)/(x-2)\)
hoặc:
= \((x+8)/(2-x)\)

Vậy kết quả của bài 16 là: \((-x – 8)/(x-2)\) hoặc \((x+8)/(2-x)\).

Bài 17: \([1/(x^2 +x) – (2-x)/(x+1)] : [1/x + x-2]\)

Tìm điều kiện xác định.
Mẫu số của các phân thức: \(x^2+x\), \(x+1\), \(x\).
Ta có \(x^2+x = x(x+1)\).
Để các phân thức có nghĩa, ta cần:
\(x^2+x \neq 0 \Rightarrow x(x+1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0\) và \(x \neq -1\)
\(x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1\)
\(x \neq 0\)
Phép chia cho \([1/x + x-2]\) yêu cầu biểu thức này khác 0.
Trước hết, rút gọn biểu thức trong ngoặc vuông thứ hai:
\(1/x + x-2 = (1 + x(x-2))/x = (1 + x^2 – 2x)/x = (x^2 – 2x + 1)/x = (x-1)^2/x\).
Vậy điều kiện để phép chia có nghĩa là \((x-1)^2/x \neq 0\), suy ra \((x-1)^2 \neq 0\) và \(x \neq 0\).
\((x-1)^2 \neq 0 \Rightarrow x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1\).
Kết hợp tất cả các điều kiện, ta có \(x \neq 0\), \(x \neq -1\), \(x \neq 1\).

Rút gọn biểu thức trong ngoặc vuông thứ nhất:
\(1/(x^2 +x) – (2-x)/(x+1)\)
Mẫu số chung là \(x(x+1)\).
\(1/(x^2+x)\) giữ nguyên.
\((2-x)/(x+1) = (2-x)x/(x(x+1)) = (2x-x^2)/(x^2+x)\)
Vậy biểu thức trong ngoặc vuông thứ nhất là:
\(1/(x^2+x) – (2x-x^2)/(x^2+x)\)
= \((1 – (2x-x^2))/(x^2+x)\)
= \((1 – 2x + x^2)/(x^2+x)\)
= \((x^2 – 2x + 1)/(x^2+x)\)
= \((x-1)^2/(x(x+1))\)

Bây giờ, thực hiện phép chia:
\((x-1)^2/(x(x+1)) : [(x-1)^2/x]\)
= \((x-1)^2/(x(x+1)) * x/((x-1)^2)\)
Rút gọn \(x\) ở tử và mẫu, và rút gọn \((x-1)^2\) ở tử và mẫu:
= \(1/(x+1)\)

Vậy kết quả của bài 17 là: \(1/(x+1)\).

Các em xem lại bài giải và ghi chép đầy đủ vào vở nhé. Nếu có chỗ nào chưa hiểu, các em cứ mạnh dạn hỏi cô.