Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập rất thú vị về giá trị lượng giác của một góc đặc biệt, đó là \(15^o\). Bài toán này sẽ giúp chúng ta ôn lại các công thức cộng và trừ trong lượng giác một cách hiệu quả.

Đề bài yêu cầu chúng ta sử dụng công thức \(15^o = 45^o – 30^o\) để tính các giá trị lượng giác của góc \(15^o\). Chúng ta sẽ lần lượt tính \( \sin 15^o \), \( \cos 15^o \), \( \tan 15^o \) và \( \cot 15^o \).

Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Các công thức cần nhớ:

• \( \sin(A – B) = \sin A \cos B – \cos A \sin B \)
• \( \cos(A – B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \)
• \( \tan(A – B) = \frac{\tan A – \tan B}{1 + \tan A \tan B} \)
• \( \cot x = \frac{1}{\tan x} \)

Các giá trị lượng giác cơ bản của \(30^o\) và \(45^o\):

• \( \sin 45^o = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
• \( \cos 45^o = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
• \( \tan 45^o = 1 \)
• \( \sin 30^o = \frac{1}{2} \)
• \( \cos 30^o = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
• \( \tan 30^o = \frac{\sqrt{3}}{3} \)

Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng các công thức này để tính toán!

1. Tính \( \sin 15^o \)

Ta có \( 15^o = 45^o – 30^o \). Áp dụng công thức \( \sin(A – B) \):

\( \sin 15^o = \sin (45^o – 30^o) \)

\( = \sin 45^o \cos 30^o – \cos 45^o \sin 30^o \)

Thay các giá trị đã biết vào:

\( = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) – \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \cdot \left( \frac{1}{2} \right) \)

\( = \frac{\sqrt{6}}{4} – \frac{\sqrt{2}}{4} \)

\( = \frac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{4} \)

Vậy, \( \mathbf{\sin 15^o = \frac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{4}} \)

2. Tính \( \cos 15^o \)

Tương tự, với \( 15^o = 45^o – 30^o \). Áp dụng công thức \( \cos(A – B) \):

\( \cos 15^o = \cos (45^o – 30^o) \)

\( = \cos 45^o \cos 30^o + \sin 45^o \sin 30^o \)

Thay các giá trị đã biết vào:

\( = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \cdot \left( \frac{1}{2} \right) \)

\( = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} \)

\( = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \)

Vậy, \( \mathbf{\cos 15^o = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} \)

3. Tính \( \tan 15^o \)

Chúng ta có thể tính \( \tan 15^o \) bằng hai cách: sử dụng công thức \( \tan(A-B) \) hoặc sử dụng tỉ số \( \frac{\sin 15^o}{\cos 15^o} \).

Cách 1: Sử dụng công thức \( \tan(A-B) \)

Ta có \( \tan 45^o = 1 \) và \( \tan 30^o = \frac{\sqrt{3}}{3} \).

\( \tan 15^o = \tan (45^o – 30^o) \)

\( = \frac{\tan 45^o – \tan 30^o}{1 + \tan 45^o \tan 30^o} \)

\( = \frac{1 – \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} \)

\( = \frac{\frac{3 – \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}} \)

\( = \frac{3 – \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \)

Để rút gọn biểu thức này, chúng ta sẽ nhân cả tử và mẫu với liên hợp của mẫu số, tức là \( 3 – \sqrt{3} \):

\( = \frac{(3 – \sqrt{3})(3 – \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3})(3 – \sqrt{3})} \)

\( = \frac{3^2 – 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2}{3^2 – (\sqrt{3})^2} \)

\( = \frac{9 – 6\sqrt{3} + 3}{9 – 3} \)

\( = \frac{12 – 6\sqrt{3}}{6} \)

\( = \frac{6(2 – \sqrt{3})}{6} \)

\( = 2 – \sqrt{3} \)

Cách 2: Sử dụng tỉ số \( \frac{\sin 15^o}{\cos 15^o} \)

\( \tan 15^o = \frac{\sin 15^o}{\cos 15^o} = \frac{\frac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} \)

\( = \frac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \)

Nhân cả tử và mẫu với liên hợp của mẫu số, tức là \( \sqrt{6} – \sqrt{2} \):

\( = \frac{(\sqrt{6} – \sqrt{2})(\sqrt{6} – \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} – \sqrt{2})} \)

\( = \frac{(\sqrt{6})^2 – 2\sqrt{6}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2}{(\sqrt{6})^2 – (\sqrt{2})^2} \)

\( = \frac{6 – 2\sqrt{12} + 2}{6 – 2} \)

\( = \frac{8 – 2\sqrt{4 \cdot 3}}{4} \)

\( = \frac{8 – 2 \cdot 2\sqrt{3}}{4} \)

\( = \frac{8 – 4\sqrt{3}}{4} \)

\( = \frac{4(2 – \sqrt{3})}{4} \)

\( = 2 – \sqrt{3} \)

Cả hai cách đều cho cùng một kết quả. Vậy, \( \mathbf{\tan 15^o = 2 – \sqrt{3}} \)

4. Tính \( \cot 15^o \)

Chúng ta biết rằng \( \cot x = \frac{1}{\tan x} \). Do đó:

\( \cot 15^o = \frac{1}{\tan 15^o} = \frac{1}{2 – \sqrt{3}} \)

Để rút gọn biểu thức này, chúng ta nhân cả tử và mẫu với liên hợp của mẫu số, tức là \( 2 + \sqrt{3} \):

\( = \frac{1 \cdot (2 + \sqrt{3})}{(2 – \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} \)

\( = \frac{2 + \sqrt{3}}{2^2 – (\sqrt{3})^2} \)

\( = \frac{2 + \sqrt{3}}{4 – 3} \)

\( = \frac{2 + \sqrt{3}}{1} \)

\( = 2 + \sqrt{3} \)

Vậy, \( \mathbf{\cot 15^o = 2 + \sqrt{3}} \)

Tóm tắt kết quả:

Sau khi thực hiện các phép tính, chúng ta có các giá trị lượng giác của \(15^o\) là:

• \( \sin 15^o = \frac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{4} \)
• \( \cos 15^o = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \)
• \( \tan 15^o = 2 – \sqrt{3} \)
• \( \cot 15^o = 2 + \sqrt{3} \)

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm vững cách áp dụng các công thức lượng giác để tính giá trị của các góc đặc biệt. Hãy luyện tập thường xuyên để ghi nhớ các công thức và kỹ năng tính toán nhé!

Chúc các em học tốt!