Chào các em học sinh lớp 8 thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán rút gọn biểu thức khá thú vị. Các em hãy chú ý quan sát và ghi nhớ cách làm nhé.

Đề bài của chúng ta là rút gọn biểu thức:

\( \frac{1}{(a-b)(a-c)} + \frac{1}{(b-c)(b-a)} + \frac{1}{(c-a)(c-b)} \)

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một:

Bước 1: Quy đồng mẫu số

Nhìn vào ba phân thức, chúng ta thấy các mẫu số có sự tương đồng nhưng hơi khác nhau về thứ tự các thừa số. Để quy đồng, chúng ta cần đưa về một mẫu số chung. Mẫu số chung hợp lý nhất sẽ là tích của các thừa số khác nhau, sắp xếp theo một thứ tự nhất quán.

Chúng ta sẽ đưa các mẫu số về dạng:

\( (a-b)(b-c)(c-a) \)

Bây giờ, chúng ta sẽ biến đổi từng phân thức:

Phân thức thứ nhất: \( \frac{1}{(a-b)(a-c)} \)

Để mẫu số thành \( (a-b)(b-c)(c-a) \), ta cần nhân tử và mẫu với \( (b-c) \) và \( -(c-a) \). Tuy nhiên, để đơn giản hơn, ta sẽ nhân với \( -(b-c) \) và \( -(c-a) \).

Hoặc cách dễ hiểu hơn, ta nhận thấy \( (a-c) = -(c-a) \). Ta sẽ chỉnh sửa lại một chút:

\( \frac{1}{(a-b)(a-c)} = \frac{1}{(a-b) \cdot -(c-a)} = \frac{-1}{(a-b)(c-a)} \)

Để có mẫu số chung \( (a-b)(b-c)(c-a) \), ta nhân tử và mẫu với \( (b-c) \).

\( \frac{-1 \cdot (b-c)}{(a-b)(c-a) \cdot (b-c)} = \frac{-(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)} \)

Phân thức thứ hai: \( \frac{1}{(b-c)(b-a)} \)

Ta nhận thấy \( (b-a) = -(a-b) \).

\( \frac{1}{(b-c)(b-a)} = \frac{1}{(b-c) \cdot -(a-b)} = \frac{-1}{(b-c)(a-b)} \)

Để có mẫu số chung \( (a-b)(b-c)(c-a) \), ta nhân tử và mẫu với \( (c-a) \).

\( \frac{-1 \cdot (c-a)}{(b-c)(a-b) \cdot (c-a)} = \frac{-(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)} \)

Phân thức thứ ba: \( \frac{1}{(c-a)(c-b)} \)

Ta nhận thấy \( (c-b) = -(b-c) \).

\( \frac{1}{(c-a)(c-b)} = \frac{1}{(c-a) \cdot -(b-c)} = \frac{-1}{(c-a)(b-c)} \)

Để có mẫu số chung \( (a-b)(b-c)(c-a) \), ta nhân tử và mẫu với \( (a-b) \).

\( \frac{-1 \cdot (a-b)}{(c-a)(b-c) \cdot (a-b)} = \frac{-(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)} \)

Bước 2: Cộng các phân thức sau khi đã quy đồng

Bây giờ, chúng ta sẽ cộng ba phân thức đã có cùng mẫu số chung:

\( \frac{-(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)} + \frac{-(c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)} + \frac{-(a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)} \)

Ta sẽ cộng các tử số lại với nhau và giữ nguyên mẫu số:

\( \frac{-(b-c) – (c-a) – (a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)} \)

Bước 3: Rút gọn tử số

Ta khai triển và rút gọn tử số:

\( -(b-c) – (c-a) – (a-b) = -b + c – c + a – a + b \)

Quan sát tử số, chúng ta thấy:

\( -b + b = 0 \)

\( c – c = 0 \)

\( a – a = 0 \)

Vậy, tử số bằng 0.

Bước 4: Kết quả cuối cùng

Sau khi rút gọn tử số, biểu thức của chúng ta trở thành:

\( \frac{0}{(a-b)(b-c)(c-a)} \)

Bất kỳ phân số nào có tử số bằng 0 (và mẫu số khác 0) đều có giá trị bằng 0.

Vậy, kết quả rút gọn của biểu thức đã cho là:

0

Qua bài tập này, các em đã thấy tầm quan trọng của việc quy đồng mẫu số và khéo léo trong việc biến đổi các thừa số ở mẫu để đưa về mẫu số chung. Hãy nhớ rằng, khi gặp các bài toán tương tự, chúng ta cần bình tĩnh, phân tích và thực hiện từng bước một.

Các em có câu hỏi nào không?