Xin chào các em học sinh! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải các hệ phương trình tuyến tính hai ẩn. Đây là một dạng bài tập rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 9. Cô sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết từng bước nhé.

2. Giải các hệ phương trình sau:

a) \( {(2x – y = 3),(x + 2y = 4):} \)

Để giải hệ phương trình này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế. Ở đây, cô sẽ sử dụng phương pháp cộng đại số vì nó giúp chúng ta khử một ẩn một cách hiệu quả.

Trước hết, chúng ta đánh số thứ tự các phương trình để dễ dàng theo dõi:

\( {(2x – y = 3) \quad (1),(x + 2y = 4) \quad (2):} \)

Bước 1: Nhân một hoặc cả hai phương trình với một số thích hợp để hệ số của một ẩn đối nhau hoặc bằng nhau.
Ở đây, cô thấy rằng nếu nhân phương trình (1) với \(2\), thì hệ số của \(y\) sẽ là \(-2y\), đối với \(2y\) trong phương trình (2). Điều này rất thuận lợi để cộng hai phương trình lại với nhau và khử ẩn \(y\).

Nhân cả hai vế của phương trình (1) với \(2\), ta được:

\( 2 \times (2x – y) = 2 \times 3 \)

\( 4x – 2y = 6 \quad (3) \)

Bước 2: Cộng (hoặc trừ) hai phương trình mới để được một phương trình bậc nhất một ẩn.
Bây giờ, chúng ta cộng phương trình (3) với phương trình (2):

\( (4x – 2y) + (x + 2y) = 6 + 4 \)

Khai triển và rút gọn, ta được:

\( 4x – 2y + x + 2y = 10 \)

\( (4x + x) + (-2y + 2y) = 10 \)

\( 5x = 10 \)

Bước 3: Giải phương trình bậc nhất một ẩn vừa tìm được để tìm giá trị của ẩn đó.

\( 5x = 10 \)

\( x = \frac{10}{5} \)

\( x = 2 \)

Bước 4: Thay giá trị của ẩn vừa tìm được vào một trong hai phương trình ban đầu (1) hoặc (2) để tìm giá trị của ẩn còn lại.
Cô sẽ thay \(x = 2\) vào phương trình (2) vì nó có vẻ đơn giản hơn:

\( x + 2y = 4 \)

\( 2 + 2y = 4 \)

Chuyển số \(2\) sang vế phải:

\( 2y = 4 – 2 \)

\( 2y = 2 \)

\( y = \frac{2}{2} \)

\( y = 1 \)

Bước 5: Kết luận nghiệm của hệ phương trình.

Vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \( (x; y) = (2; 1) \).

Để chắc chắn, các em có thể thử lại nghiệm vào hai phương trình ban đầu:

• Với phương trình (1): \( 2(2) – 1 = 4 – 1 = 3 \) (Đúng)
• Với phương trình (2): \( 2 + 2(1) = 2 + 2 = 4 \) (Đúng)

b) \( {(x – 3y = 2),(-2x + 5y = 1):} \)

Tương tự như câu a), chúng ta cũng sẽ sử dụng phương pháp cộng đại số để giải hệ phương trình này.

Đánh số thứ tự các phương trình:

\( {(x – 3y = 2) \quad (1),(-2x + 5y = 1) \quad (2):} \)

Bước 1: Nhân một hoặc cả hai phương trình với một số thích hợp.
Ở đây, cô thấy rằng nếu nhân phương trình (1) với \(2\), thì hệ số của \(x\) sẽ là \(2x\), đối với \(-2x\) trong phương trình (2). Như vậy, chúng ta có thể cộng hai phương trình để khử ẩn \(x\).

Nhân cả hai vế của phương trình (1) với \(2\), ta được:

\( 2 \times (x – 3y) = 2 \times 2 \)

\( 2x – 6y = 4 \quad (3) \)

Bước 2: Cộng hai phương trình mới.
Bây giờ, chúng ta cộng phương trình (3) với phương trình (2):

\( (2x – 6y) + (-2x + 5y) = 4 + 1 \)

Khai triển và rút gọn:

\( 2x – 6y – 2x + 5y = 5 \)

\( (2x – 2x) + (-6y + 5y) = 5 \)

\( -y = 5 \)

Bước 3: Giải phương trình bậc nhất một ẩn vừa tìm được.

\( -y = 5 \)

Để tìm \(y\), chúng ta nhân cả hai vế với \(-1\):

\( y = -5 \)

Bước 4: Thay giá trị của ẩn vừa tìm được vào một trong hai phương trình ban đầu.
Cô sẽ thay \(y = -5\) vào phương trình (1) vì nó đơn giản hơn:

\( x – 3y = 2 \)

\( x – 3(-5) = 2 \)

\( x + 15 = 2 \)

Chuyển số \(15\) sang vế phải:

\( x = 2 – 15 \)

\( x = -13 \)

Bước 5: Kết luận nghiệm của hệ phương trình.

Vậy, hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \( (x; y) = (-13; -5) \).

Các em cùng kiểm tra lại nhé:

• Với phương trình (1): \( -13 – 3(-5) = -13 + 15 = 2 \) (Đúng)
• Với phương trình (2): \( -2(-13) + 5(-5) = 26 – 25 = 1 \) (Đúng)

Qua hai bài tập này, các em đã ôn lại cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số. Các em nhớ luyện tập thêm để thành thạo hơn nhé! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi cô.