Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán chuyển động khá thú vị, liên quan đến việc tìm khoảng cách nhỏ nhất giữa hai vật thể. Đây là một dạng bài điển hình giúp chúng ta rèn luyện tư duy phân tích và áp dụng kiến thức về hàm số bậc hai trong Vật lý.

Đề bài:

2 vật chuyển động trên 2 đoạn thẳng cùng tiến về ngã tư với tốc độ lần lượt là 20km/h và 30km/h. 2 con đường giao nhau tạo thành góc \(60^\circ\). ban đầu vật 1 cách ngã tư 30km, vật 2 cách ngã tư 50km. Xác định khoảng cách nhỏ nhất giữa 2 vật và thời điểm khoảng cách nhỏ nhất.

Phân tích và Lời giải chi tiết:

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

1. Chọn hệ quy chiếu và biểu diễn vị trí của mỗi vật theo thời gian.
2. Thiết lập công thức tính bình phương khoảng cách giữa hai vật theo thời gian.
3. Tìm giá trị thời gian để khoảng cách đó đạt cực tiểu (bằng cách tìm giá trị cực tiểu của hàm bậc hai).
4. Tính khoảng cách nhỏ nhất.

Bước 1: Chọn hệ quy chiếu và biểu diễn vị trí của mỗi vật theo thời gian.

Chúng ta chọn ngã tư O làm gốc tọa độ \((0,0)\).
Giả sử đường đi của vật 1 nằm dọc theo trục hoành (trục Ox).

• Đối với vật 1:
  
  Tốc độ của vật 1 là \(v_1 = 20 \text{ km/h}\).
  
  Ban đầu vật 1 cách ngã tư \(30 \text{ km}\). Do vật chuyển động về phía ngã tư, nên tọa độ x của nó sẽ giảm dần theo thời gian.
  
  Vị trí của vật 1 tại thời điểm \(t\) (tính bằng giờ) là:
  
  \(x_1(t) = 30 – v_1 t = 30 – 20t\)
  
  \(y_1(t) = 0\)
  
  Vậy, tọa độ của vật 1 là \(M_1(t) = (30 – 20t, 0)\).
• Đối với vật 2:
  
  Tốc độ của vật 2 là \(v_2 = 30 \text{ km/h}\).
  
  Ban đầu vật 2 cách ngã tư \(50 \text{ km}\). Con đường của vật 2 tạo với đường của vật 1 một góc \(60^\circ\). Tương tự, vật 2 cũng chuyển động về phía ngã tư.
  
  Khoảng cách của vật 2 đến ngã tư tại thời điểm \(t\) là \(d_2(t) = 50 – v_2 t = 50 – 30t\).
  
  Để tìm tọa độ \((x_2, y_2)\) của vật 2, chúng ta dùng công thức chuyển đổi từ tọa độ cực (khoảng cách và góc) sang tọa độ Descartes:
  
  \(x_2(t) = d_2(t) \cos(60^\circ) = (50 – 30t) \times \frac{1}{2} = 25 – 15t\)
  
  \(y_2(t) = d_2(t) \sin(60^\circ) = (50 – 30t) \times \frac{\sqrt{3}}{2} = (25 – 15t)\sqrt{3}\)
  
  Vậy, tọa độ của vật 2 là \(M_2(t) = (25 – 15t, (25 – 15t)\sqrt{3})\).

Bước 2: Thiết lập công thức tính bình phương khoảng cách giữa hai vật theo thời gian.

Khoảng cách giữa hai vật tại thời điểm \(t\), ký hiệu là \(D(t)\), được tính bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng Oxy:

\(D^2(t) = (x_2(t) – x_1(t))^2 + (y_2(t) – y_1(t))^2\)

Trước hết, ta tính các hiệu tọa độ:

\(x_2(t) – x_1(t) = (25 – 15t) – (30 – 20t) = 25 – 15t – 30 + 20t = 5t – 5\)

\(y_2(t) – y_1(t) = (25 – 15t)\sqrt{3} – 0 = (25 – 15t)\sqrt{3}\)

Bây giờ, thay các hiệu này vào công thức \(D^2(t)\):

\(D^2(t) = (5t – 5)^2 + ((25 – 15t)\sqrt{3})^2\)

Ta có thể rút gọn các biểu thức trong ngoặc:

\(D^2(t) = [5(t – 1)]^2 + [5(5 – 3t)\sqrt{3}]^2\)

\(D^2(t) = 25(t – 1)^2 + 25 \times 3 (5 – 3t)^2\)

\(D^2(t) = 25(t^2 – 2t + 1) + 75(25 – 30t + 9t^2)\)

Khai triển và gộp các số hạng:

\(D^2(t) = 25t^2 – 50t + 25 + 1875 – 2250t + 675t^2\)

\(D^2(t) = (25 + 675)t^2 + (-50 – 2250)t + (25 + 1875)\)

\(D^2(t) = 700t^2 – 2300t + 1900\)

Bước 3: Tìm thời điểm khoảng cách đạt cực tiểu.

Hàm \(D^2(t)\) là một hàm bậc hai có dạng \(at^2 + bt + c\), trong đó \(a = 700\), \(b = -2300\), \(c = 1900\). Vì hệ số \(a = 700 > 0\), hàm này có một giá trị cực tiểu tại đỉnh của parabol.

Thời điểm \(t\) mà \(D^2(t)\) (và do đó \(D(t)\)) đạt giá trị nhỏ nhất được tính bằng công thức:

\(t_{min} = -\frac{b}{2a}\)

Thay các giá trị \(a\) và \(b\) vào:

\(t_{min} = -\frac{-2300}{2 \times 700} = \frac{2300}{1400} = \frac{23}{14} \text{ giờ}\)

Để đổi ra phút, ta có: \(\frac{23}{14} \text{ giờ} \approx 1.6428 \text{ giờ} \approx 1 \text{ giờ } (0.6428 \times 60) \text{ phút} \approx 1 \text{ giờ } 38.57 \text{ phút}\).

Bước 4: Tính khoảng cách nhỏ nhất.

Để tìm khoảng cách nhỏ nhất, chúng ta thay giá trị \(t_{min} = \frac{23}{14}\) vào biểu thức của \(D^2(t)\):

\(D_{min}^2 = 700 \left(\frac{23}{14}\right)^2 – 2300 \left(\frac{23}{14}\right) + 1900\)

\(D_{min}^2 = 700 \times \frac{529}{196} – \frac{2300 \times 23}{14} + 1900\)

Rút gọn tỉ số \( \frac{700}{196} \):

\(\frac{700}{196} = \frac{100 \times 7}{28 \times 7} = \frac{100}{28} = \frac{25}{7}\).

Tiếp tục tính toán:

\(D_{min}^2 = \frac{25}{7} \times 529 – \frac{52900}{14} + 1900\)

Để dễ dàng cộng trừ, ta quy đồng mẫu số về 14 hoặc 7.

\(D_{min}^2 = \frac{25 \times 529 \times 2}{14} – \frac{52900}{14} + \frac{1900 \times 14}{14}\)

\(D_{min}^2 = \frac{26450}{14} – \frac{52900}{14} + \frac{26600}{14}\)

\(D_{min}^2 = \frac{26450 – 52900 + 26600}{14}\)

\(D_{min}^2 = \frac{150}{14} = \frac{75}{7}\)

Vậy, khoảng cách nhỏ nhất là:

\(D_{min} = \sqrt{\frac{75}{7}} = \sqrt{\frac{25 \times 3}{7}} = 5\sqrt{\frac{3}{7}}\)

Để khử căn ở mẫu số, ta nhân cả tử và mẫu với \(\sqrt{7}\):

\(D_{min} = 5 \frac{\sqrt{3} \times \sqrt{7}}{\sqrt{7} \times \sqrt{7}} = 5 \frac{\sqrt{21}}{7} \text{ km}\)

Giá trị xấp xỉ: \(D_{min} \approx 5 \times \frac{4.5826}{7} \approx 3.273 \text{ km}\).

Kết luận:

Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai vật là \(5 \frac{\sqrt{21}}{7} \text{ km}\) và thời điểm đạt khoảng cách nhỏ nhất là \( \frac{23}{14} \text{ giờ}\) (tương đương khoảng 1 giờ 38 phút 34 giây) kể từ lúc ban đầu.

Các em nhớ ôn tập kỹ dạng bài này nhé! Nếu có thắc mắc gì, đừng ngần ngại hỏi thầy.