Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, cô trò chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán nhìn có vẻ phức tạp nhưng lại rất thú vị và có một “bí mật” nhỏ ẩn chứa bên trong nhé. Đây là dạng bài thường gặp để rèn luyện tư duy toán học của chúng ta đó.

Đề bài của chúng ta là:

\( \frac{29-x}{21} + \frac{27-x}{23} + \frac{25-x}{25} + \frac{23-x}{27} + \frac{21-x}{29} = -5 \)

Để giải bài toán này một cách nhanh chóng và hiệu quả, các em hãy cùng cô quan sát kỹ mối quan hệ giữa tử số và mẫu số của mỗi phân số nhé:

• Phân số thứ nhất: \( \frac{29-x}{21} \). Nếu chúng ta cộng thêm \(1\) vào phân số này, ta sẽ có: \( \frac{29-x}{21} + 1 = \frac{29-x+21}{21} = \frac{50-x}{21} \).
• Phân số thứ hai: \( \frac{27-x}{23} \). Nếu chúng ta cộng thêm \(1\) vào phân số này, ta sẽ có: \( \frac{27-x}{23} + 1 = \frac{27-x+23}{23} = \frac{50-x}{23} \).
• Phân số thứ ba: \( \frac{25-x}{25} \). Nếu chúng ta cộng thêm \(1\) vào phân số này, ta sẽ có: \( \frac{25-x}{25} + 1 = \frac{25-x+25}{25} = \frac{50-x}{25} \).
• Phân số thứ tư: \( \frac{23-x}{27} \). Nếu chúng ta cộng thêm \(1\) vào phân số này, ta sẽ có: \( \frac{23-x}{27} + 1 = \frac{23-x+27}{27} = \frac{50-x}{27} \).
• Phân số thứ năm: \( \frac{21-x}{29} \). Nếu chúng ta cộng thêm \(1\) vào phân số này, ta sẽ có: \( \frac{21-x}{29} + 1 = \frac{21-x+29}{29} = \frac{50-x}{29} \).

Các em thấy điều gì đặc biệt không? Khi chúng ta cộng thêm \(1\) vào mỗi phân số, tất cả các phân số mới đều có chung một tử số là \((50-x)\)! Đây chính là “chìa khóa vàng” để chúng ta giải quyết bài toán này đó.

Bây giờ, chúng ta sẽ bắt tay vào giải chi tiết nhé!

Bước 1: Cộng thêm một số thích hợp vào cả hai vế của phương trình.

Như phân tích ở trên, chúng ta sẽ cộng thêm \(1\) vào mỗi phân số ở vế trái. Vì có 5 phân số, nên tổng cộng chúng ta đã thêm \(1 \times 5 = 5\) vào vế trái của phương trình.

Để phương trình không thay đổi giá trị, chúng ta cũng phải cộng thêm \(5\) vào vế phải.

Phương trình ban đầu:

\( \frac{29-x}{21} + \frac{27-x}{23} + \frac{25-x}{25} + \frac{23-x}{27} + \frac{21-x}{29} = -5 \)

Cộng thêm \(1\) vào mỗi phân số ở vế trái và cộng \(5\) vào vế phải:

\( \left(\frac{29-x}{21} + 1\right) + \left(\frac{27-x}{23} + 1\right) + \left(\frac{25-x}{25} + 1\right) + \left(\frac{23-x}{27} + 1\right) + \left(\frac{21-x}{29} + 1\right) = -5 + 5 \)

Bước 2: Rút gọn các phân số và vế phải.

Chúng ta sẽ thực hiện phép cộng \(+1\) vào từng phân số như đã phân tích ở trên, và tính tổng ở vế phải:

\( \frac{29-x+21}{21} + \frac{27-x+23}{23} + \frac{25-x+25}{25} + \frac{23-x+27}{27} + \frac{21-x+29}{29} = 0 \)

Thực hiện phép cộng trong tử số:

\( \frac{50-x}{21} + \frac{50-x}{23} + \frac{50-x}{25} + \frac{50-x}{27} + \frac{50-x}{29} = 0 \)

Bước 3: Đặt thừa số chung \((50-x)\) ra ngoài.

Các em thấy không, bây giờ tất cả các phân số ở vế trái đều có chung tử số là \((50-x)\). Chúng ta có thể đặt \((50-x)\) làm thừa số chung theo tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:

\( (50-x) \left( \frac{1}{21} + \frac{1}{23} + \frac{1}{25} + \frac{1}{27} + \frac{1}{29} \right) = 0 \)

Bước 4: Phân tích biểu thức và tìm giá trị của \(x\).

Chúng ta có một tích của hai thừa số bằng 0. Để một tích bằng 0, thì ít nhất một trong hai thừa số phải bằng 0.

• Thừa số thứ nhất là \((50-x)\).
• Thừa số thứ hai là tổng các phân số: \(\left( \frac{1}{21} + \frac{1}{23} + \frac{1}{25} + \frac{1}{27} + \frac{1}{29} \right)\).

Bây giờ, chúng ta hãy xem xét thừa số thứ hai:

\( \frac{1}{21} + \frac{1}{23} + \frac{1}{25} + \frac{1}{27} + \frac{1}{29} \)

Đây là tổng của 5 phân số dương. Mỗi phân số (\(\frac{1}{21}\), \(\frac{1}{23}\), v.v.) đều lớn hơn 0. Do đó, tổng của chúng chắc chắn sẽ lớn hơn 0 và không thể bằng 0.

Vì thừa số thứ hai khác 0, nên để tích bằng 0, bắt buộc thừa số thứ nhất phải bằng 0.

Vậy, chúng ta có:

\( 50-x = 0 \)

Để tìm \(x\), chúng ta chuyển \(x\) sang vế phải (hoặc chuyển \(50\) sang vế phải và đổi dấu):

\( x = 50 \)

Kết luận:

Vậy giá trị của \(x\) cần tìm là \(50\).

Các em thấy đó, một bài toán tưởng chừng phức tạp nhưng khi chúng ta tìm được “mẹo” là thêm bớt một lượng thích hợp để tạo ra thừa số chung thì lại trở nên rất dễ dàng phải không nào? Hãy luôn tìm tòi, quan sát kỹ đề bài để phát hiện ra những quy luật ẩn chứa trong đó nhé!

Chúc các em học tốt và luôn yêu thích môn Toán!