Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau “biến hóa” các tổng thành dạng tích nhé. Đây là một kỹ năng rất quan trọng trong môn Toán, giúp chúng ta rút gọn biểu thức và giải các bài toán phức tạp hơn đấy. Các em hãy chú ý theo dõi thầy/cô hướng dẫn chi tiết từng bước một nha!

—

Bài 2. Viết các tổng sau dưới dạng tích

g. \(-2xy^2+x^2y^4+1\)

Để đưa biểu thức này về dạng tích, chúng ta cần quan sát kỹ các hạng tử. Các em có thấy xuất hiện các bình phương không?

Chúng ta hãy sắp xếp lại các hạng tử theo thứ tự quen thuộc một chút nhé:

\(x^2y^4 – 2xy^2 + 1\)

Bây giờ, chúng ta thấy rằng:

• \(x^2y^4\) chính là \((xy^2)^2\)
• \(1\) chính là \(1^2\)
• Hạng tử ở giữa là \(-2xy^2\)

Đây chính là hằng đẳng thức “Bình phương của một hiệu”: \(a^2 – 2ab + b^2 = (a-b)^2\).

Chúng ta sẽ xác định \(a\) và \(b\):

• \(a = xy^2\)
• \(b = 1\)

Kiểm tra lại hạng tử giữa: \(2ab = 2(xy^2)(1) = 2xy^2\). Như vậy, khớp với biểu thức ban đầu có dấu trừ.

Vậy, ta có:

\(x^2y^4 – 2xy^2 + 1 = (xy^2)^2 – 2(xy^2)(1) + 1^2 = (xy^2 – 1)^2\)

Kết quả: \((xy^2-1)^2\)

h. \(x^3+6x^2+12x+8\)

Khi nhìn thấy các hạng tử có số mũ cao nhất là \(3\) (\(x^3\)) và có bốn hạng tử, chúng ta nên nghĩ ngay đến hằng đẳng thức “Lập phương của một tổng” hoặc “Lập phương của một hiệu”.

Dạng tổng quát của hằng đẳng thức lập phương của một tổng là: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\).

Bây giờ, chúng ta sẽ cố gắng xác định \(a\) và \(b\) từ biểu thức đã cho:

• Hạng tử đầu tiên là \(x^3\), vậy ta có thể xem \(a^3 = x^3 \Rightarrow a = x\).
• Hạng tử cuối cùng là \(8\), vậy ta có thể xem \(b^3 = 8 \Rightarrow b = 2\).

Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra xem hai hạng tử ở giữa có khớp với \(3a^2b\) và \(3ab^2\) không nhé:

• \(3a^2b = 3(x)^2(2) = 3x^2 \cdot 2 = 6x^2\). Hạng tử này khớp với \(6x^2\) trong biểu thức.
• \(3ab^2 = 3(x)(2)^2 = 3x \cdot 4 = 12x\). Hạng tử này cũng khớp với \(12x\) trong biểu thức.

Vì tất cả các hạng tử đều khớp, nên biểu thức đã cho chính là lập phương của một tổng.

Vậy, ta có:

\(x^3+6x^2+12x+8 = (x+2)^3\)

Kết quả: \((x+2)^3\)

i. \(x^3-6x^2y+12xy^2-8y^3\)

Tương tự như câu h, đây cũng là một biểu thức có \(4\) hạng tử và bậc cao nhất là \(3\). Lần này, có dấu trừ xen kẽ, nên chúng ta sẽ nghĩ đến hằng đẳng thức “Lập phương của một hiệu”.

Dạng tổng quát của hằng đẳng thức lập phương của một hiệu là: \((a-b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3\).

Chúng ta cùng xác định \(a\) và \(b\):

• Hạng tử đầu tiên là \(x^3\), vậy \(a^3 = x^3 \Rightarrow a = x\).
• Hạng tử cuối cùng là \(-8y^3\), vậy \(-b^3 = -8y^3 \Rightarrow b^3 = 8y^3 \Rightarrow b = 2y\).

Bây giờ, hãy kiểm tra hai hạng tử ở giữa:

• \(-3a^2b = -3(x)^2(2y) = -3x^2 \cdot 2y = -6x^2y\). Hạng tử này khớp với \(-6x^2y\) trong biểu thức.
• \(3ab^2 = 3(x)(2y)^2 = 3x \cdot (4y^2) = 12xy^2\). Hạng tử này khớp với \(12xy^2\) trong biểu thức.

Tất cả các hạng tử đều khớp!

Vậy, ta có:

\(x^3-6x^2y+12xy^2-8y^3 = (x-2y)^3\)

Kết quả: \((x-2y)^3\)

k. \(-x^3+3x^2-3x+1\)

Biểu thức này cũng có \(4\) hạng tử. Các em có thể sắp xếp lại theo thứ tự bậc giảm dần để dễ nhìn hơn nhé:

\(-x^3+3x^2-3x+1 = 1 – 3x + 3x^2 – x^3\)

Biểu thức này rất giống với dạng khai triển của \((a-b)^3\). Chúng ta hãy thử với \(a=1\) và \(b=x\) nhé:

\((1-x)^3 = 1^3 – 3(1)^2(x) + 3(1)(x)^2 – x^3\)

\(= 1 – 3x + 3x^2 – x^3\)

Chính xác! Biểu thức ban đầu đã được sắp xếp lại khớp hoàn toàn với \((1-x)^3\).

Hoặc một cách khác, các em có thể đặt dấu \(-1\) ra ngoài:

\(-x^3+3x^2-3x+1 = -(x^3-3x^2+3x-1)\)

Phần trong ngoặc \((x^3-3x^2+3x-1)\) chính là khai triển của \((x-1)^3\).

Vậy, ta có: \( -(x-1)^3 \).

Mà \( -(x-1)^3 = (-1)^3(x-1)^3 = (-1)(x-1)^3 = (-(x-1))^3 = (1-x)^3\).

Cả hai cách đều cho kết quả đúng.

Kết quả: \((1-x)^3\)

m. \(x^3+27\)

Biểu thức này chỉ có hai hạng tử, đều là lập phương. Đây là dạng “Tổng của hai lập phương”.

Công thức tổng quát là: \(a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)\).

Chúng ta xác định \(a\) và \(b\):

• Hạng tử đầu tiên là \(x^3\), vậy \(a^3 = x^3 \Rightarrow a = x\).
• Hạng tử thứ hai là \(27\). Chúng ta biết \(27 = 3^3\), vậy \(b^3 = 27 \Rightarrow b = 3\).

Bây giờ, chúng ta chỉ việc thay \(a\) và \(b\) vào công thức:

\(x^3+27 = (x+3)(x^2 – x \cdot 3 + 3^2)\)

\(= (x+3)(x^2 – 3x + 9)\)

Kết quả: \((x+3)(x^2 – 3x + 9)\)

n. \(x^3-8y^3\)

Tương tự như câu m, đây cũng là biểu thức có hai hạng tử là lập phương, nhưng có dấu trừ ở giữa. Đây là dạng “Hiệu của hai lập phương”.

Công thức tổng quát là: \(a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\).

Chúng ta xác định \(a\) và \(b\):

• Hạng tử đầu tiên là \(x^3\), vậy \(a^3 = x^3 \Rightarrow a = x\).
• Hạng tử thứ hai là \(8y^3\). Chúng ta biết \(8y^3 = (2y)^3\), vậy \(b^3 = 8y^3 \Rightarrow b = 2y\).

Bây giờ, chúng ta thay \(a\) và \(b\) vào công thức:

\(x^3-8y^3 = (x-2y)(x^2 + x \cdot 2y + (2y)^2)\)

\(= (x-2y)(x^2 + 2xy + 4y^2)\)

Kết quả: \((x-2y)(x^2 + 2xy + 4y^2)\)

—

Các em thấy không, việc nắm vững các hằng đẳng thức đáng nhớ giúp chúng ta phân tích đa thức thành nhân tử một cách dễ dàng và nhanh chóng hơn rất nhiều. Hãy ôn luyện thường xuyên để thành thạo các kỹ năng này nhé! Chúc các em học tốt!