Chào các em học sinh lớp 8 thân mến!

Thầy rất vui khi được hướng dẫn các em giải bài tập này. Đề bài yêu cầu chúng ta “khai triển hằng đẳng thức” với các biểu thức sau: \(2x^2 + 3x – 5\); \(2x^2 + 5x + 2\); \(2x^2 + 3x + 2\).

Trước hết, thầy muốn làm rõ một chút về thuật ngữ. Các biểu thức mà đề bài đưa ra \( (2x^2 + 3x – 5, \text{ v.v.}) \) thực chất đã là các đa thức ở dạng khai triển rồi. “Khai triển hằng đẳng thức” thường có nghĩa là biến đổi một biểu thức như \( (a+b)^2 \) thành \( a^2 + 2ab + b^2 \). Với các đa thức đã cho, yêu cầu phổ biến hơn và có ý nghĩa hơn ở lớp 8 là phân tích đa thức thành nhân tử (tức là viết chúng dưới dạng tích của các đa thức đơn giản hơn), thường là sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ hoặc phương pháp tách hạng tử.

Vậy, thầy sẽ hướng dẫn các em phân tích các đa thức này thành nhân tử nhé!

—

Bài 1: Phân tích đa thức \( 2x^2 + 3x – 5 \) thành nhân tử

Đây là một đa thức bậc hai có dạng \( ax^2 + bx + c \). Chúng ta có thể sử dụng phương pháp tách hạng tử giữa. Mục tiêu là tìm hai số \( m \) và \( n \) sao cho \( m \times n = a \times c \) và \( m + n = b \).

Trong trường hợp này:

• \( a = 2 \)
• \( b = 3 \)
• \( c = -5 \)

Chúng ta cần tìm hai số \( m, n \) sao cho tích \( m \times n = a \times c = 2 \times (-5) = -10 \) và tổng \( m + n = b = 3 \).

Các cặp số có tích bằng \( -10 \) là:

• \( 1 \times (-10) = -10 \Rightarrow 1 + (-10) = -9 \) (Không thỏa mãn)
• \( -1 \times 10 = -10 \Rightarrow -1 + 10 = 9 \) (Không thỏa mãn)
• \( 2 \times (-5) = -10 \Rightarrow 2 + (-5) = -3 \) (Không thỏa mãn)
• \( -2 \times 5 = -10 \Rightarrow -2 + 5 = 3 \) (Thỏa mãn!)

Vậy, hai số chúng ta cần tìm là \( -2 \) và \( 5 \). Chúng ta sẽ tách hạng tử \( 3x \) thành \( -2x + 5x \).

Ta có:

\( 2x^2 + 3x – 5 \)

\( = 2x^2 – 2x + 5x – 5 \) (Tách hạng tử \( 3x \))

\( = (2x^2 – 2x) + (5x – 5) \) (Nhóm các hạng tử thích hợp)

\( = 2x(x – 1) + 5(x – 1) \) (Đặt nhân tử chung trong mỗi nhóm)

\( = (x – 1)(2x + 5) \) (Đặt nhân tử chung \( (x – 1) \))

Vậy, \( 2x^2 + 3x – 5 = (x – 1)(2x + 5) \).

—

Bài 2: Phân tích đa thức \( 2x^2 + 5x + 2 \) thành nhân tử

Tương tự, đây cũng là đa thức bậc hai dạng \( ax^2 + bx + c \).

Trong trường hợp này:

• \( a = 2 \)
• \( b = 5 \)
• \( c = 2 \)

Chúng ta cần tìm hai số \( m, n \) sao cho tích \( m \times n = a \times c = 2 \times 2 = 4 \) và tổng \( m + n = b = 5 \).

Các cặp số có tích bằng \( 4 \) là:

• \( 1 \times 4 = 4 \Rightarrow 1 + 4 = 5 \) (Thỏa mãn!)
• \( 2 \times 2 = 4 \Rightarrow 2 + 2 = 4 \) (Không thỏa mãn)

Vậy, hai số chúng ta cần tìm là \( 1 \) và \( 4 \). Chúng ta sẽ tách hạng tử \( 5x \) thành \( x + 4x \).

Ta có:

\( 2x^2 + 5x + 2 \)

\( = 2x^2 + x + 4x + 2 \) (Tách hạng tử \( 5x \))

\( = (2x^2 + x) + (4x + 2) \) (Nhóm các hạng tử thích hợp)

\( = x(2x + 1) + 2(2x + 1) \) (Đặt nhân tử chung trong mỗi nhóm)

\( = (2x + 1)(x + 2) \) (Đặt nhân tử chung \( (2x + 1) \))

Vậy, \( 2x^2 + 5x + 2 = (2x + 1)(x + 2) \).

—

Bài 3: Phân tích đa thức \( 2x^2 + 3x + 2 \) thành nhân tử

Tương tự, đây cũng là đa thức bậc hai dạng \( ax^2 + bx + c \).

Trong trường hợp này:

• \( a = 2 \)
• \( b = 3 \)
• \( c = 2 \)

Chúng ta cần tìm hai số \( m, n \) sao cho tích \( m \times n = a \times c = 2 \times 2 = 4 \) và tổng \( m + n = b = 3 \).

Các cặp số nguyên có tích bằng \( 4 \) là:

• \( 1 \times 4 = 4 \Rightarrow 1 + 4 = 5 \) (Không thỏa mãn)
• \( 2 \times 2 = 4 \Rightarrow 2 + 2 = 4 \) (Không thỏa mãn)
• \( (-1) \times (-4) = 4 \Rightarrow (-1) + (-4) = -5 \) (Không thỏa mãn)
• \( (-2) \times (-2) = 4 \Rightarrow (-2) + (-2) = -4 \) (Không thỏa mãn)

Chúng ta thấy rằng, không có cặp số nguyên nào có tích bằng \( 4 \) mà tổng của chúng lại bằng \( 3 \).

Điều này có nghĩa là đa thức \( 2x^2 + 3x + 2 \) không thể phân tích thành nhân tử với các hệ số nguyên bằng phương pháp tách hạng tử mà chúng ta vừa học. Ở cấp độ lớp 8, chúng ta thường chỉ xét việc phân tích thành nhân tử với các hệ số nguyên.

Vậy, đa thức \( 2x^2 + 3x + 2 \) được coi là một đa thức không thể phân tích được thành nhân tử một cách “đẹp” (với hệ số nguyên) ở chương trình THCS.

—

Hy vọng phần giải thích chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về cách phân tích đa thức thành nhân tử, đặc biệt là với phương pháp tách hạng tử. Hãy luyện tập thêm để thành thạo các dạng bài này nhé!