Xin chào các em học sinh thân mến,

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về phương trình chứa căn thức. Đây là một dạng bài rất phổ biến và quan trọng trong chương trình Toán lớp 9. Các em hãy chú ý theo dõi từng bước thầy hướng dẫn nhé!

Đề bài: Giải phương trình sau:

\(\sqrt{2x-3} + \sqrt{2x-5} = 6\)

Để giải quyết bài toán này theo đúng yêu cầu là “giải theo dạng n căn a^m” (tức là chúng ta sẽ sử dụng phép bình phương để loại bỏ dấu căn, chuyển đổi biểu thức dưới căn thành dạng đa thức và giải tiếp), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình.

Để các biểu thức dưới dấu căn có nghĩa, chúng ta cần đảm bảo rằng chúng không âm:

• \(2x – 3 \ge 0 \Rightarrow 2x \ge 3 \Rightarrow x \ge \frac{3}{2}\)

• \(2x – 5 \ge 0 \Rightarrow 2x \ge 5 \Rightarrow x \ge \frac{5}{2}\)

Kết hợp cả hai điều kiện trên, ta thấy rằng \(x\) phải lớn hơn hoặc bằng giá trị lớn nhất trong hai giá trị \(\frac{3}{2}\) và \(\frac{5}{2}\).

Vậy, Điều kiện xác định của phương trình là: \(x \ge \frac{5}{2}\)

Bước 2: Bình phương hai vế của phương trình để khử bớt dấu căn.

Phương trình đã cho là:

\(\sqrt{2x-3} + \sqrt{2x-5} = 6\)

Bình phương hai vế của phương trình:

\((\sqrt{2x-3} + \sqrt{2x-5})^2 = 6^2\)

Áp dụng hằng đẳng thức \((A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\), ta có:

\((\sqrt{2x-3})^2 + 2\sqrt{2x-3}\sqrt{2x-5} + (\sqrt{2x-5})^2 = 36\)

\((2x-3) + 2\sqrt{(2x-3)(2x-5)} + (2x-5) = 36\)

Gom các hạng tử không chứa căn thức lại:

\((2x+2x) + (-3-5) + 2\sqrt{(2x-3)(2x-5)} = 36\)

\(4x – 8 + 2\sqrt{(2x-3)(2x-5)} = 36\)

Bước 3: Cô lập phần căn thức và tiếp tục bình phương lần nữa.

Chuyển các hạng tử không chứa căn sang vế phải để cô lập căn thức:

\(2\sqrt{(2x-3)(2x-5)} = 36 – 4x + 8\)

\(2\sqrt{(2x-3)(2x-5)} = 44 – 4x\)

Chia cả hai vế cho 2 để đơn giản biểu thức:

\(\sqrt{(2x-3)(2x-5)} = 22 – 2x\)

Trước khi bình phương hai vế một lần nữa, chúng ta cần đặt thêm một điều kiện phụ. Vế trái là một căn bậc hai, luôn không âm. Do đó, vế phải cũng phải không âm:

\(22 – 2x \ge 0\)

\(22 \ge 2x\)

\(x \le 11\)

Kết hợp với ĐKXĐ ban đầu (\(x \ge \frac{5}{2}\)), ta có điều kiện cho nghiệm là: \(\frac{5}{2} \le x \le 11\).

Bây giờ, chúng ta bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt{(2x-3)(2x-5)} = 22 – 2x\):

\((\sqrt{(2x-3)(2x-5)})^2 = (22 – 2x)^2\)

\((2x-3)(2x-5) = (22 – 2x)^2\)

Bước 4: Giải phương trình bậc hai (hoặc bậc nhất) thu được.

Khai triển hai vế của phương trình:

• Vế trái: \((2x-3)(2x-5) = 2x(2x) – 2x(5) – 3(2x) + (-3)(-5)\)

  \(= 4x^2 – 10x – 6x + 15\)

  \(= 4x^2 – 16x + 15\)

• Vế phải: \((22 – 2x)^2 = 22^2 – 2(22)(2x) + (2x)^2\)

  \(= 484 – 88x + 4x^2\)

Vậy, phương trình trở thành:

\(4x^2 – 16x + 15 = 484 – 88x + 4x^2\)

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế. Lưu ý rằng \(4x^2\) ở hai vế sẽ triệt tiêu nhau:

\(4x^2 – 4x^2 – 16x + 88x = 484 – 15\)

\(72x = 469\)

Giải phương trình bậc nhất cho \(x\):

\(x = \frac{469}{72}\)

Bước 5: Kiểm tra nghiệm với điều kiện xác định.

Ta có nghiệm tìm được là \(x = \frac{469}{72}\). Bây giờ chúng ta cần kiểm tra xem nghiệm này có thỏa mãn điều kiện \( \frac{5}{2} \le x \le 11 \) hay không.

Đổi các phân số ra dạng số thập phân hoặc quy đồng để so sánh:

• \(\frac{5}{2} = 2.5\)

• \(\frac{469}{72} \approx 6.5138…\)

• \(11\)

Dễ thấy \(2.5 \le 6.5138… \le 11\). Vậy nghiệm \(x = \frac{469}{72}\) thỏa mãn điều kiện.

Hoặc quy đồng mẫu số:

• \(\frac{5}{2} = \frac{5 \times 36}{2 \times 36} = \frac{180}{72}\)

• \(11 = \frac{11 \times 72}{72} = \frac{792}{72}\)

Ta có \(\frac{180}{72} \le \frac{469}{72} \le \frac{792}{72}\), điều này là đúng.

Kết luận:

Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(x = \frac{469}{72}\).

Các em nhớ rằng việc đặt điều kiện xác định và kiểm tra nghiệm là vô cùng quan trọng đối với các bài toán có chứa căn thức nhé!