Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán về phương trình bậc ba. Đây là một dạng bài rất hay, giúp chúng ta ôn lại kiến thức về nghiệm của đa thức và phép chia đa thức.

Đề bài: Cho phương trình \(2x^3+5x^2-8x-4m=0\). Biết \(x=-2\) là một nghiệm của phương trình. Hãy tìm các nghiệm còn lại.

Chúng ta sẽ tiến hành giải bài toán này theo các bước sau:

Bước 1: Tìm giá trị của tham số \(m\).

Vì \(x=-2\) là một nghiệm của phương trình, điều đó có nghĩa là khi chúng ta thay \(x=-2\) vào phương trình, biểu thức sẽ bằng 0. Hãy cùng thực hiện nhé!

Thay \(x=-2\) vào phương trình \(2x^3+5x^2-8x-4m=0\), ta được:

\(2(-2)^3 + 5(-2)^2 – 8(-2) – 4m = 0\)

Thực hiện các phép tính lũy thừa và nhân:

\(2(-8) + 5(4) – (-16) – 4m = 0\)

\(-16 + 20 + 16 – 4m = 0\)

Cộng các số hạng lại:

\(20 – 4m = 0\)

Chuyển hạng tử \(4m\) sang vế phải:

\(4m = 20\)

Chia cả hai vế cho 4 để tìm \(m\):

\(m = \frac{20}{4}\)

\(m = 5\)

Vậy, chúng ta đã tìm được giá trị của tham số \(m\) là \(5\).

Bước 2: Viết lại phương trình hoàn chỉnh.

Sau khi có giá trị của \(m\), chúng ta sẽ thay \(m=5\) vào phương trình ban đầu:

\(2x^3+5x^2-8x-4(5)=0\)

\(2x^3+5x^2-8x-20=0\)

Đây chính là phương trình bậc ba mà chúng ta cần giải.

Bước 3: Phân tích đa thức thành nhân tử.

Chúng ta đã biết rằng \(x=-2\) là một nghiệm của phương trình. Theo Định lý Bezout, nếu \(x=a\) là nghiệm của đa thức \(P(x)\) thì \((x-a)\) là một nhân tử của \(P(x)\). Ở đây, \(a=-2\), nên \((x-(-2))\), tức là \((x+2)\), là một nhân tử của đa thức \(2x^3+5x^2-8x-20\).

Để tìm nhân tử còn lại, chúng ta sẽ thực hiện phép chia đa thức \(2x^3+5x^2-8x-20\) cho \((x+2)\). Các em có thể dùng phương pháp chia đa thức thông thường hoặc sơ đồ Horner.

Thực hiện phép chia đa thức:

\[ \frac{2x^3+5x^2-8x-20}{x+2} = 2x^2+x-10 \]

Vậy, phương trình của chúng ta có thể viết lại dưới dạng tích:

\((x+2)(2x^2+x-10)=0\)

Bước 4: Tìm các nghiệm còn lại.

Để phương trình \((x+2)(2x^2+x-10)=0\) có nghiệm, thì một trong các nhân tử phải bằng 0.

Trường hợp 1: \(x+2=0\)

\(x = -2\)

Đây chính là nghiệm mà đề bài đã cho.

Trường hợp 2: \(2x^2+x-10=0\)

Đây là một phương trình bậc hai. Chúng ta có thể giải nó bằng cách sử dụng công thức nghiệm tổng quát.

Với phương trình \(ax^2+bx+c=0\), công thức nghiệm là \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\).

Trong trường hợp này, \(a=2\), \(b=1\), \(c=-10\).

Tính biệt thức Delta (\(\Delta\)):

\(\Delta = b^2 – 4ac = (1)^2 – 4(2)(-10)\)

\(\Delta = 1 – (-80)\)

\(\Delta = 1 + 80\)

\(\Delta = 81\)

Vì \(\Delta = 81 > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Áp dụng công thức nghiệm:

\(x = \frac{-1 \pm \sqrt{81}}{2(2)}\)

\(x = \frac{-1 \pm 9}{4}\)

Từ đây, chúng ta có hai nghiệm:

\(x_1 = \frac{-1 + 9}{4} = \frac{8}{4} = 2\)

\(x_2 = \frac{-1 – 9}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}\)

Kết luận:

Vậy, phương trình \(2x^3+5x^2-8x-4m=0\) với \(m=5\) có ba nghiệm là:

\(x = -2\)

\(x = 2\)

\(x = -\frac{5}{2}\)

Các nghiệm còn lại của phương trình là \(x = 2\) và \(x = -\frac{5}{2}\).

Chúc các em học tốt và luôn tự tin khi giải các bài toán nhé!