Chúng ta sẽ bắt đầu với bài tập sau:

Giải các bất phương trình sau:

a) \( (2x+3)(2x-1) > 4x(x+2) \)

Trước hết, chúng ta sẽ khai triển và rút gọn hai vế của bất phương trình.

Vế trái: \( (2x+3)(2x-1) = (2x)(2x) + (2x)(-1) + (3)(2x) + (3)(-1) \)
\( = 4x^2 – 2x + 6x – 3 \)
\( = 4x^2 + 4x – 3 \)

Vế phải: \( 4x(x+2) = (4x)(x) + (4x)(2) \)
\( = 4x^2 + 8x \)

Bây giờ, chúng ta thay các biểu thức đã khai triển vào bất phương trình ban đầu:
\( 4x^2 + 4x – 3 > 4x^2 + 8x \)

Tiếp theo, chúng ta chuyển tất cả các hạng tử về một vế để đưa về dạng bất phương trình quen thuộc hơn. Trừ \( 4x^2 \) ở cả hai vế:
\( 4x – 3 > 8x \)

Bây giờ, chúng ta chuyển hạng tử chứa \( x \) về một vế và hạng tử tự do về vế còn lại. Trừ \( 4x \) ở cả hai vế:
\( -3 > 8x – 4x \)
\( -3 > 4x \)

Cuối cùng, để tìm \( x \), chúng ta chia cả hai vế cho 4. Lưu ý, vì 4 là số dương nên chiều của bất phương trình không đổi.
\( \frac{-3}{4} > x \)

Hoặc viết lại là: \( x < -\frac{3}{4} \) Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là \( \{ x \in \mathbb{R} \mid x < -\frac{3}{4} \} \).

b) \( 5(x-1) – x(7-x) < x^2 \)

Tương tự như câu a), chúng ta sẽ khai triển và rút gọn hai vế.

Vế trái: \( 5(x-1) – x(7-x) = (5x – 5) – (7x – x^2) \)
\( = 5x – 5 – 7x + x^2 \)
\( = x^2 – 2x – 5 \)

Vế phải đã ở dạng đơn giản: \( x^2 \)

Thay vào bất phương trình:
\( x^2 – 2x – 5 < x^2 \) Bây giờ, chúng ta chuyển tất cả các hạng tử về một vế. Trừ \( x^2 \) ở cả hai vế: \( -2x - 5 < 0 \) Chuyển hạng tử tự do sang vế phải. Cộng 5 vào cả hai vế: \( -2x < 5 \) Để tìm \( x \), chúng ta chia cả hai vế cho -2. Lưu ý, vì -2 là số âm nên khi chia cả hai vế cho một số âm, chiều của bất phương trình sẽ đổi ngược lại. \( x > \frac{5}{-2} \)
\( x > -\frac{5}{2} \)

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là \( \{ x \in \mathbb{R} \mid x > -\frac{5}{2} \} \).

c) \( (x-1)^2 + (x-3)^2 > x^2 + (x+1)^2 \)

Chúng ta sẽ khai triển các bình phương ở cả hai vế.

Vế trái: \( (x-1)^2 + (x-3)^2 \)
\( (x-1)^2 = x^2 – 2x + 1 \)
\( (x-3)^2 = x^2 – 6x + 9 \)
Vậy, \( (x-1)^2 + (x-3)^2 = (x^2 – 2x + 1) + (x^2 – 6x + 9) = 2x^2 – 8x + 10 \)

Vế phải: \( x^2 + (x+1)^2 \)
\( (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 \)
Vậy, \( x^2 + (x+1)^2 = x^2 + (x^2 + 2x + 1) = 2x^2 + 2x + 1 \)

Thay vào bất phương trình:
\( 2x^2 – 8x + 10 > 2x^2 + 2x + 1 \)

Bây giờ, chúng ta rút gọn. Trừ \( 2x^2 \) ở cả hai vế:
\( -8x + 10 > 2x + 1 \)

Chuyển các hạng tử chứa \( x \) về một vế và hạng tử tự do về vế còn lại. Trừ \( 2x \) ở cả hai vế:
\( -8x – 2x + 10 > 1 \)
\( -10x + 10 > 1 \)

Trừ 10 ở cả hai vế:
\( -10x > 1 – 10 \)
\( -10x > -9 \)

Để tìm \( x \), chúng ta chia cả hai vế cho -10. Lưu ý, vì -10 là số âm nên chiều của bất phương trình sẽ đổi ngược lại.
\( x < \frac{-9}{-10} \) \( x < \frac{9}{10} \) Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là \( \{ x \in \mathbb{R} \mid x < \frac{9}{10} \} \).

Các em về nhà xem lại bài, làm thêm các bài tập tương tự để nắm vững kiến thức nhé. Nếu có gì chưa hiểu, các em cứ mạnh dạn hỏi thầy. Chúc các em học tốt!