Chào các em học sinh lớp 7 thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán tìm \( x \) rất thú vị. Bài toán yêu cầu chúng ta tìm giá trị của \( x \) thỏa mãn phương trình sau:

\( ( 3 x – 2 ) ( 3 x + 2 ) – 9 ( x – 1 ) x = 0 \)

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau một cách cẩn thận nhé:

Bước 1: Khai triển các biểu thức có trong phương trình.

Chúng ta hãy nhìn vào từng phần của phương trình.

a) Khai triển biểu thức thứ nhất: \( ( 3 x – 2 ) ( 3 x + 2 ) \)

Các em có nhận ra đây là dạng hằng đẳng thức đáng nhớ nào không? Chính xác rồi, đây là hằng đẳng thức Hiệu hai bình phương: \( (a – b)(a + b) = a^2 – b^2 \).

Trong trường hợp này:

• \( a = 3x \)
• \( b = 2 \)

Áp dụng hằng đẳng thức, ta có:

\( ( 3 x – 2 ) ( 3 x + 2 ) = (3x)^2 – (2)^2 \)

\( = 9x^2 – 4 \)

b) Khai triển biểu thức thứ hai: \( – 9 ( x – 1 ) x \)

Đầu tiên, chúng ta nhân \( x \) vào trong ngoặc \( (x-1) \):

\( ( x – 1 ) x = x \cdot x – 1 \cdot x = x^2 – x \)

Bây giờ, chúng ta nhân kết quả này với \( -9 \):

\( – 9 ( x^2 – x ) = -9 \cdot x^2 – 9 \cdot (-x) \)

\( = -9x^2 + 9x \)

Bước 2: Thay các biểu thức đã khai triển vào phương trình ban đầu.

Sau khi đã khai triển từng phần, chúng ta thay chúng trở lại vào phương trình gốc:

Phương trình ban đầu là: \( ( 3 x – 2 ) ( 3 x + 2 ) – 9 ( x – 1 ) x = 0 \)

Thay thế vào, ta được:

\( ( 9x^2 – 4 ) + ( -9x^2 + 9x ) = 0 \)

Lưu ý dấu trừ ở giữa hai biểu thức, khi khai triển biểu thức thứ hai ra có dấu âm rồi nên chúng ta có thể viết lại như sau:

\( 9x^2 – 4 – 9x^2 + 9x = 0 \)

Bước 3: Thu gọn phương trình.

Bây giờ, chúng ta sẽ nhóm các hạng tử đồng dạng (có cùng biến và cùng số mũ) lại với nhau:

\( (9x^2 – 9x^2) + 9x – 4 = 0 \)

Các em có thấy điều gì đặc biệt ở đây không? Hai hạng tử \( 9x^2 \) và \( -9x^2 \) sẽ triệt tiêu lẫn nhau (vì \( 9x^2 – 9x^2 = 0 \)).

Vậy, phương trình của chúng ta trở nên đơn giản hơn nhiều:

\( 0 + 9x – 4 = 0 \)

\( 9x – 4 = 0 \)

Bước 4: Giải phương trình bậc nhất tìm \( x \).

Đây là một phương trình bậc nhất đơn giản mà chúng ta đã học.

Để tìm \( x \), chúng ta sẽ chuyển các số hạng không chứa \( x \) sang một vế và giữ các số hạng chứa \( x \) ở vế còn lại. Khi chuyển vế, chúng ta phải đổi dấu:

\( 9x – 4 = 0 \)

Chuyển \( -4 \) sang vế phải, ta được:

\( 9x = 4 \)

Cuối cùng, để tìm \( x \), chúng ta chia cả hai vế cho 9:

\( x = \frac{4}{9} \)

Vậy, giá trị của \( x \) thỏa mãn phương trình đã cho là \( \frac{4}{9} \).

Bước 5: Kiểm tra lại (đây là bước không bắt buộc nhưng rất tốt để đảm bảo kết quả đúng).

Thay \( x = \frac{4}{9} \) vào phương trình ban đầu:

\( ( 3 \cdot \frac{4}{9} – 2 ) ( 3 \cdot \frac{4}{9} + 2 ) – 9 ( \frac{4}{9} – 1 ) \frac{4}{9} = 0 \)

Tính toán từng phần:

• \( ( 3 \cdot \frac{4}{9} – 2 ) = ( \frac{12}{9} – 2 ) = ( \frac{4}{3} – \frac{6}{3} ) = -\frac{2}{3} \)
• \( ( 3 \cdot \frac{4}{9} + 2 ) = ( \frac{12}{9} + 2 ) = ( \frac{4}{3} + \frac{6}{3} ) = \frac{10}{3} \)
• \( ( \frac{4}{9} – 1 ) = ( \frac{4}{9} – \frac{9}{9} ) = -\frac{5}{9} \)

Vậy, vế trái trở thành:

\( ( -\frac{2}{3} ) ( \frac{10}{3} ) – 9 ( -\frac{5}{9} ) \frac{4}{9} \)

\( = -\frac{20}{9} – 9 ( -\frac{20}{81} ) \)

\( = -\frac{20}{9} + \frac{180}{81} \)

Vì \( \frac{180}{81} = \frac{180 \div 9}{81 \div 9} = \frac{20}{9} \), ta có:

\( = -\frac{20}{9} + \frac{20}{9} = 0 \)

Kết quả vế trái bằng 0, đúng bằng vế phải của phương trình. Vậy nghiệm của chúng ta là chính xác!

Kết luận:

Tập nghiệm của phương trình là \( S = \{ \frac{4}{9} \} \).

Hy vọng các em đã hiểu bài giải này một cách rõ ràng. Hãy luyện tập thêm để nắm vững kiến thức nhé!