Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rất thú vị về tính chia hết. Đó là bài:
Chứng minh rằng biểu thức \(P(n) = 3n^4 – 14n^3 + 21n^2 – 10n\) luôn chia hết cho 24 với mọi số nguyên \(n\).

Để chứng minh một số chia hết cho 24, chúng ta cần nhớ rằng 24 có thể phân tích thành tích của các số nguyên tố cùng nhau là \(3 \times 8\). Do đó, nhiệm vụ của chúng ta là chứng minh biểu thức \(P(n)\) đồng thời chia hết cho 3 và chia hết cho 8.

Bước 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

Đây là bước rất quan trọng để bài toán trở nên đơn giản hơn. Trước hết, chúng ta thấy rằng tất cả các hạng tử của \(P(n)\) đều có nhân tử \(n\). Vậy ta có thể đặt \(n\) ra ngoài làm nhân tử chung:

\(P(n) = n(3n^3 – 14n^2 + 21n – 10)\)

Bây giờ, chúng ta cần phân tích đa thức bậc ba \(Q(n) = 3n^3 – 14n^2 + 21n – 10\) thành nhân tử. Chúng ta có thể thử các giá trị nguyên nhỏ của \(n\) để tìm nghiệm:

• Nếu \(n=1\): \(Q(1) = 3(1)^3 – 14(1)^2 + 21(1) – 10 = 3 – 14 + 21 – 10 = 0\).
  Vậy \(n=1\) là một nghiệm, suy ra \((n-1)\) là một nhân tử của \(Q(n)\).
• Nếu \(n=2\): \(Q(2) = 3(2)^3 – 14(2)^2 + 21(2) – 10 = 3(8) – 14(4) + 42 – 10 = 24 – 56 + 42 – 10 = 0\).
  Vậy \(n=2\) là một nghiệm, suy ra \((n-2)\) là một nhân tử của \(Q(n)\).

Vì \((n-1)\) và \((n-2)\) là các nhân tử, nên \((n-1)(n-2)\) cũng là một nhân tử của \(Q(n)\).
Ta có \((n-1)(n-2) = n^2 – 2n – n + 2 = n^2 – 3n + 2\).

Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện phép chia đa thức \(Q(n)\) cho \((n^2 – 3n + 2)\) để tìm nhân tử còn lại:

\((3n^3 – 14n^2 + 21n – 10) \div (n^2 – 3n + 2)\)

Thực hiện phép chia (các em có thể làm ra nháp nhé!), ta sẽ được kết quả là \((3n – 5)\).

Vậy, đa thức \(Q(n)\) có thể viết lại là \((n-1)(n-2)(3n-5)\).

Kết hợp lại, biểu thức \(P(n)\) của chúng ta sẽ là:

\(P(n) = n(n-1)(n-2)(3n-5)\)

Để dễ nhìn hơn, ta sắp xếp lại một chút:

\(P(n) = (n-2)(n-1)n(3n-5)\)

Bước 2: Chứng minh \(P(n)\) chia hết cho 3

Chúng ta có \((n-2)(n-1)n\) là tích của ba số nguyên liên tiếp.
Nhắc lại kiến thức: Tích của ba số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 3 (và cả cho \(3! = 6\)). Vì trong ba số nguyên liên tiếp, chắc chắn sẽ có một số chia hết cho 3.

Vì \((n-2)(n-1)n\) chia hết cho 3, nên tích \(P(n) = (n-2)(n-1)n(3n-5)\) chắc chắn cũng chia hết cho 3.

Vậy, chúng ta đã xong phần chứng minh \(P(n)\) chia hết cho 3.

Bước 3: Chứng minh \(P(n)\) chia hết cho 8

Để chứng minh \(P(n) = (n-2)(n-1)n(3n-5)\) chia hết cho 8, chúng ta sẽ xét hai trường hợp của \(n\):

Trường hợp 1: \(n\) là số chẵn

Nếu \(n\) là số chẵn, ta có thể đặt \(n = 2k\) với \(k\) là một số nguyên.

Thay \(n=2k\) vào biểu thức \(P(n)\):

\(P(2k) = (2k-2)(2k-1)(2k)(3(2k)-5)\)

Ta có thể tách nhân tử 2 từ \((2k-2)\) và \((2k)\):

\(P(2k) = 2(k-1)(2k-1) \cdot 2k \cdot (6k-5)\)

\(P(2k) = 4k(k-1)(2k-1)(6k-5)\)

Bây giờ, chúng ta cần xem xét tích \(k(k-1)\).
Nhắc lại kiến thức: Tích của hai số nguyên liên tiếp \(k(k-1)\) luôn là một số chẵn. Vì trong hai số nguyên liên tiếp, chắc chắn có một số chẵn.

Do đó, \(k(k-1)\) chia hết cho 2.
Gọi \(k(k-1) = 2m\) (với \(m\) là một số nguyên).

Thay vào biểu thức \(P(2k)\):

\(P(2k) = 4 \cdot (2m) \cdot (2k-1)(6k-5)\)

\(P(2k) = 8m(2k-1)(6k-5)\)

Rõ ràng, biểu thức này chia hết cho 8.

Vậy, khi \(n\) là số chẵn, \(P(n)\) chia hết cho 8.

Trường hợp 2: \(n\) là số lẻ

Nếu \(n\) là số lẻ, ta có thể đặt \(n = 2k+1\) với \(k\) là một số nguyên.

Thay \(n=2k+1\) vào biểu thức \(P(n)\):

\(P(2k+1) = (2k+1-2)(2k+1-1)(2k+1)(3(2k+1)-5)\)

\(P(2k+1) = (2k-1)(2k)(2k+1)(6k+3-5)\)

\(P(2k+1) = (2k-1)(2k)(2k+1)(6k-2)\)

Chúng ta lại tách nhân tử 2 từ \((2k)\) và \((6k-2)\):

\(P(2k+1) = (2k-1) \cdot 2k \cdot (2k+1) \cdot 2(3k-1)\)

\(P(2k+1) = 4k(2k-1)(2k+1)(3k-1)\)

Bây giờ, chúng ta cần xem xét tích \(k(3k-1)\).

• Nếu \(k\) là số chẵn, thì \(k\) chia hết cho 2. Khi đó \(4k\) chia hết cho \(4 \times 2 = 8\). Vậy \(P(2k+1)\) chia hết cho 8.
• Nếu \(k\) là số lẻ, thì \(3k\) là số lẻ. Khi đó \(3k-1\) là số chẵn (vì lẻ – lẻ = chẵn).
  Vậy, \((3k-1)\) chia hết cho 2. Do đó, tích \(k(3k-1)\) sẽ có một nhân tử chia hết cho 2.
  Như vậy, \(k(3k-1)\) là số chẵn.
  Gọi \(k(3k-1) = 2s\) (với \(s\) là một số nguyên).

  Thay vào biểu thức \(P(2k+1)\):

  \(P(2k+1) = 4 \cdot (2s) \cdot (2k-1)(2k+1)\)

  \(P(2k+1) = 8s(2k-1)(2k+1)\)

  Rõ ràng, biểu thức này chia hết cho 8.

Vậy, khi \(n\) là số lẻ, \(P(n)\) cũng chia hết cho 8.

Từ cả hai trường hợp trên, chúng ta kết luận rằng \(P(n)\) luôn chia hết cho 8 với mọi số nguyên \(n\).

Bước 4: Kết luận

Chúng ta đã chứng minh được:

• \(P(n)\) chia hết cho 3.
• \(P(n)\) chia hết cho 8.

Vì 3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau (ƯCLN(3, 8) = 1), nên nếu một số chia hết cho cả 3 và 8 thì nó sẽ chia hết cho tích của chúng là \(3 \times 8 = 24\).

Vậy, biểu thức \(3n^4 – 14n^3 + 21n^2 – 10n\) luôn chia hết cho 24 với mọi số nguyên \(n\).

Chúc mừng các em đã hoàn thành bài toán này!