Chào các em học sinh yêu quý,

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết các bài tập thú vị này nhé. Các em hãy chú ý theo dõi các bước làm chi tiết để hiểu rõ cách giải bài toán.

Bài 3: Tính

a) \(A=(3x^3+2xy^2-1xy)\times(-2/3xy^2)\)

Để tính biểu thức này, chúng ta sẽ nhân từng hạng tử trong ngoặc với \((-\frac{2}{3}xy^2)\).

Áp dụng quy tắc nhân các đơn thức: nhân hệ số với hệ số, phần biến với phần biến (cùng biến thì cộng số mũ).

\(A = (3x^3) \times (-\frac{2}{3}xy^2) + (2xy^2) \times (-\frac{2}{3}xy^2) – (xy) \times (-\frac{2}{3}xy^2)\)

\(A = (3 \times (-\frac{2}{3})) \times (x^3 \times x) \times y^2 + (2 \times (-\frac{2}{3})) \times (x \times x) \times (y^2 \times y^2) – (1 \times (-\frac{2}{3})) \times (x \times x) \times (y \times y^2)\)

\(A = -2x^{3+1}y^2 – \frac{4}{3}x^{1+1}y^{2+2} + \frac{2}{3}x^{1+1}y^{1+2}\)

\(A = -2x^4y^2 – \frac{4}{3}x^2y^4 + \frac{2}{3}x^2y^3\)

Vậy biểu thức A sau khi tính là: \(A = -2x^4y^2 – \frac{4}{3}x^2y^4 + \frac{2}{3}x^2y^3\)

b) \(B=3x^5y^3-4x^4y^4+5x^3y^5:(-2x^2y^2)\)

Ở đây, chúng ta cần thực hiện phép chia trước rồi mới đến phép trừ (theo thứ tự ưu tiên của các phép tính: Nhân chia trước, cộng trừ sau).

Chia hạng tử \(5x^3y^5\) cho \((-2x^2y^2)\):

\(\frac{5x^3y^5}{-2x^2y^2} = (\frac{5}{-2}) \times (\frac{x^3}{x^2}) \times (\frac{y^5}{y^2})\)

Áp dụng quy tắc chia các đơn thức: chia hệ số cho hệ số, phần biến với phần biến (cùng biến thì trừ số mũ).

\(= -\frac{5}{2} x^{3-2} y^{5-2}\)

\(= -\frac{5}{2} xy^3\)

Bây giờ, thay kết quả phép chia vào biểu thức B:

\(B = 3x^5y^3 – 4x^4y^4 + (-\frac{5}{2}xy^3)\)

\(B = 3x^5y^3 – 4x^4y^4 – \frac{5}{2}xy^3\)

Vậy biểu thức B sau khi tính là: \(B = 3x^5y^3 – 4x^4y^4 – \frac{5}{2}xy^3\)

Bài 4: Tìm x

a) \((x-5)^2-(3x+1)^2=0\)

Đây là dạng phương trình hiệu của hai bình phương: \(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\).

Áp dụng công thức với \(a = (x-5)\) và \(b = (3x+1)\):

\([(x-5) – (3x+1)][(x-5) + (3x+1)] = 0\)

Giải ngoặc tròn bên trong ngoặc vuông:

\([x-5-3x-1][x-5+3x+1] = 0\)

Thu gọn các hạng tử trong mỗi ngoặc vuông:

\((-2x-6)(4x-4) = 0\)

Để tích của hai thừa số bằng 0, thì ít nhất một trong hai thừa số phải bằng 0.

Trường hợp 1: \(-2x-6 = 0\)

\(-2x = 6\)

\(x = \frac{6}{-2}\)

\(x = -3\)

Trường hợp 2: \(4x-4 = 0\)

\(4x = 4\)

\(x = \frac{4}{4}\)

\(x = 1\)

Vậy phương trình có hai nghiệm là \(x = -3\) và \(x = 1\).

b) \(x^2-14x+49=0\)

Đây là một phương trình bậc hai. Các em hãy để ý, vế trái của phương trình có dạng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: \(a^2 – 2ab + b^2 = (a-b)^2\).

Ta thấy: \(x^2 – 14x + 49 = x^2 – 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2\)

Vậy ta có thể viết lại phương trình như sau:

\((x-7)^2 = 0\)

Để một bình phương bằng 0, thì biểu thức bên trong bình phương phải bằng 0.

\(x-7 = 0\)

\(x = 7\)

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất là \(x = 7\).

c) \( \frac{x-3}{x-5} – \frac{7x-1}{4} = x+2 \)

Đây là một phương trình chứa ẩn ở mẫu. Trước hết, chúng ta cần tìm điều kiện xác định của phương trình (ĐKXĐ).

Mẫu số \(x-5\) phải khác 0. Do đó, \(x \neq 5\).

Tiếp theo, chúng ta sẽ quy đồng mẫu số và khử mẫu.

Mẫu số chung của phương trình là \(4(x-5)\).

Nhân cả hai vế của phương trình với mẫu số chung \(4(x-5)\) (với điều kiện \(x \neq 5\)):

\(4(x-3) – (7x-1)(x-5) = (x+2) \cdot 4(x-5)\)

Bây giờ, chúng ta sẽ khai triển và rút gọn các biểu thức:

\(4x – 12 – (7x \cdot x – 7x \cdot 5 – 1 \cdot x + 1 \cdot 5) = 4(x \cdot x – x \cdot 5 + 2 \cdot x – 2 \cdot 5)\)

\(4x – 12 – (7x^2 – 35x – x + 5) = 4(x^2 – 5x + 2x – 10)\)

\(4x – 12 – (7x^2 – 36x + 5) = 4(x^2 – 3x – 10)\)

Bỏ ngoặc và đổi dấu các hạng tử bị trừ:

\(4x – 12 – 7x^2 + 36x – 5 = 4x^2 – 12x – 40\)

Chuyển tất cả các hạng tử về một vế (thường là vế phải để hệ số của \(x^2\) dương):

\(0 = 4x^2 + 7x^2 – 12x – 40x – 40 + 12 + 5\)

Gộp các hạng tử đồng dạng:

\(0 = (4x^2 + 7x^2) + (-12x – 40x) + (-40 + 12 + 5)\)

\(0 = 11x^2 – 52x – 23\)

Đây là một phương trình bậc hai có dạng \(ax^2 + bx + c = 0\) với \(a=11, b=-52, c=-23\).

Chúng ta sẽ sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\)

Tính biệt thức Delta (\(\Delta\)):

\(\Delta = b^2 – 4ac\)

\(\Delta = (-52)^2 – 4 \cdot 11 \cdot (-23)\)

\(\Delta = 2704 – (-1012)\)

\(\Delta = 2704 + 1012\)

\(\Delta = 3716\)

Vì \(\Delta > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\(x_1 = \frac{-(-52) + \sqrt{3716}}{2 \cdot 11}\)

\(x_1 = \frac{52 + \sqrt{3716}}{22}\)

Ta có thể rút gọn \(\sqrt{3716}\): \(3716 = 4 \times 929\), nên \(\sqrt{3716} = \sqrt{4 \times 929} = 2\sqrt{929}\)

\(x_1 = \frac{52 + 2\sqrt{929}}{22}\)

\(x_1 = \frac{2(26 + \sqrt{929})}{22}\)

\(x_1 = \frac{26 + \sqrt{929}}{11}\)

\(x_2 = \frac{-(-52) – \sqrt{3716}}{2 \cdot 11}\)

\(x_2 = \frac{52 – \sqrt{3716}}{22}\)

\(x_2 = \frac{52 – 2\sqrt{929}}{22}\)

\(x_2 = \frac{2(26 – \sqrt{929})}{22}\)

\(x_2 = \frac{26 – \sqrt{929}}{11}\)

Kiểm tra điều kiện xác định \(x \neq 5\):

Ta thấy \(\sqrt{929} \approx 30.48\).

\(x_1 \approx \frac{26 + 30.48}{11} \approx \frac{56.48}{11} \approx 5.13\) (khác 5, thỏa mãn ĐKXĐ)

\(x_2 \approx \frac{26 – 30.48}{11} \approx \frac{-4.48}{11} \approx -0.41\) (khác 5, thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy phương trình có hai nghiệm là \(x_1 = \frac{26 + \sqrt{929}}{11}\) và \(x_2 = \frac{26 – \sqrt{929}}{11}\).

Thầy/Cô hy vọng các em đã hiểu rõ các bước giải của từng bài toán. Chúc các em học tốt!