Chào TUS! Cô rất vui khi TUS đã gửi bài tập này để cô cùng con ôn lại kiến thức. Đây là một bài toán rất hay, vận dụng nhiều kỹ năng chúng ta đã học về đa thức và các phép biến đổi. Đừng lo lắng nếu con chưa hiểu, cô sẽ giải thích thật chi tiết từng bước một nhé!

Chúng ta cùng bắt đầu nào!

Đề bài:

Cho biểu thức \(3X^4+5X^2Y^2+2Y^4+2Y^2\).
Biết rằng \(X^2+Y^2=2\).
Hãy tính giá trị của biểu thức trên.

Phân tích đề bài và tìm hướng giải:

Nhìn vào biểu thức mà đề bài yêu cầu tính, TUS có thấy những điểm đặc biệt nào không?

• Số mũ của X và Y đều là số chẵn: \(X^4\), \(X^2Y^2\), \(Y^4\), \(Y^2\).
• Điều kiện đề bài cho là \(X^2+Y^2=2\).

Điều này gợi ý cho chúng ta rằng, có thể chúng ta sẽ đưa biểu thức về dạng chỉ chứa \(X^2\) và \(Y^2\) để dễ dàng sử dụng điều kiện đã cho. Chẳng hạn, \(X^4\) có thể viết thành \((X^2)^2\), và \(Y^4\) có thể viết thành \((Y^2)^2\).

Vậy, chúng ta hãy thử đặt \(A = X^2\) và \(B = Y^2\) để xem biểu thức trở nên như thế nào nhé. Đây là một kỹ thuật rất hay giúp con nhìn rõ hơn cấu trúc của đa thức.

Biểu thức ban đầu sẽ trở thành: \(3A^2+5AB+2B^2+2B\).

Và điều kiện đề bài trở thành: \(A+B=2\).

Bây giờ, nhìn vào \(3A^2+5AB+2B^2+2B\), TUS có nhận ra phần nào có thể phân tích thành nhân tử không? Chính là ba số hạng đầu tiên: \(3A^2+5AB+2B^2\).

Đây là một đa thức bậc hai đối với A và B. Chúng ta có thể phân tích nó thành nhân tử.

Các bước giải chi tiết:

Bước 1: Phân tích đa thức \(3A^2+5AB+2B^2\) thành nhân tử.

Để phân tích \(3A^2+5AB+2B^2\), chúng ta sẽ dùng phương pháp tách hạng tử giữa. TUS nhớ cách làm này chứ?

• Chúng ta cần tìm hai số có tích bằng \(3 \times 2 = 6\) và tổng bằng \(5\) (là hệ số của AB).
• Hai số đó chính là \(2\) và \(3\). (Vì \(2 \times 3 = 6\) và \(2+3=5\)).
• Vậy, chúng ta có thể tách \(5AB\) thành \(2AB+3AB\).

Ta có:

\(3A^2+5AB+2B^2\)
\(= 3A^2+2AB+3AB+2B^2\)

Bây giờ, chúng ta nhóm các hạng tử lại để đặt nhân tử chung:

\(= (3A^2+3AB) + (2AB+2B^2)\)

Đặt nhân tử chung cho từng nhóm:

\(= 3A(A+B) + 2B(A+B)\)

Lại thấy nhân tử chung \((A+B)\):

\(= (A+B)(3A+2B)\)

Vậy, chúng ta đã phân tích được ba hạng tử đầu tiên của biểu thức thành \((A+B)(3A+2B)\).

Bước 2: Thay \(A=X^2\) và \(B=Y^2\) trở lại biểu thức gốc.

Sau khi phân tích, chúng ta thay \(A=X^2\) và \(B=Y^2\) vào:

\((X^2+Y^2)(3X^2+2Y^2)\)

Như vậy, biểu thức ban đầu \(3X^4+5X^2Y^2+2Y^4+2Y^2\) sẽ trở thành:

\((X^2+Y^2)(3X^2+2Y^2) + 2Y^2\)

Bước 3: Sử dụng điều kiện \(X^2+Y^2=2\) để rút gọn.

Chúng ta có điều kiện đề bài là \(X^2+Y^2=2\). Hãy thay giá trị này vào biểu thức vừa tìm được:

\(2(3X^2+2Y^2) + 2Y^2\)

Bây giờ, chúng ta khai triển (nhân phân phối) số 2 vào trong ngoặc:

\(2 \times 3X^2 + 2 \times 2Y^2 + 2Y^2\)
\(= 6X^2 + 4Y^2 + 2Y^2\)

Gộp các hạng tử đồng dạng (hạng tử có cùng phần biến):

\(= 6X^2 + (4Y^2+2Y^2)\)
\(= 6X^2 + 6Y^2\)

TUS có thấy gì đặc biệt ở đây không? Chúng ta có thể đặt nhân tử chung là 6:

\(= 6(X^2+Y^2)\)

Lại một lần nữa, chúng ta có cụm \((X^2+Y^2)\)! Và chúng ta biết rằng \(X^2+Y^2=2\).

Vậy, thay 2 vào cụm đó:

\(= 6 \times 2\)
\(= 12\)

Kết luận:

Vậy, giá trị của biểu thức \(3X^4+5X^2Y^2+2Y^4+2Y^2\) khi biết \(X^2+Y^2=2\) là 12.

Tóm tắt các bước chính cho TUS dễ nhớ:

1. Nhận diện: Biểu thức có các số mũ chẵn, gợi ý đặt \(A=X^2, B=Y^2\).
2. Phân tích: Nhóm các hạng tử có dạng \(3A^2+5AB+2B^2\) và phân tích thành nhân tử \((A+B)(3A+2B)\). (Đây là bước quan trọng nhất!)
3. Thay thế: Thay \(A=X^2, B=Y^2\) trở lại và sử dụng điều kiện \(X^2+Y^2=2\) lần thứ nhất.
4. Rút gọn: Khai triển và gộp các hạng tử đồng dạng.
5. Áp dụng lại điều kiện: Nhận ra biểu thức có dạng \(6(X^2+Y^2)\) và sử dụng điều kiện \(X^2+Y^2=2\) lần thứ hai để tìm ra kết quả cuối cùng.

TUS thấy đó, bài toán này tuy nhìn có vẻ phức tạp nhưng nếu chúng ta biết cách “nhìn nhận” và “phân tích” các hạng tử một cách hợp lý, sau đó khéo léo áp dụng điều kiện đề bài, thì nó trở nên rất đơn giản. Kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử là chìa khóa ở đây đấy!

Nếu có bất kỳ chỗ nào chưa rõ, đừng ngần ngại hỏi cô ngay nhé. Cô luôn sẵn lòng giải thích thêm cho con!